3.9: Postulados de Mecánica Cuántica

Ahora resumimos los postulados de la Mecánica Cuántica que se han introducido. La aplicación de estos postulados se ilustrará en capítulos posteriores.

Postulado 1

Las propiedades de un sistema mecánico cuántico están determinadas por una función de onda ψ (r, t) que depende de las coordenadas espaciales del sistema y el tiempo,\(r\) y\(t\). Para un sistema de partículas individuales, r es el conjunto de coordenadas de esa partícula\(r = (x_1, y_1, z_1)\). Para más de una partícula,\(r\) se utiliza para representar el conjunto completo de coordenadas\(r = (x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2,\dots x_n, y_n, z_n)\). Dado que el estado de un sistema se define por sus propiedades,\(\psi\) especifica o identifica el estado y a veces se llama la función state en lugar de la función wavefunction.

Postulado 2

La función de onda se interpreta como amplitauda de probabilidad con el cuadrado absoluto de la función de onda,\(Ψ^*(r,t)Ψ(r,t)\) interpretada a la densidad de probabilidad en el tiempo\(t\). Una densidad de probabilidad por un volumen es una probabilidad, así que para una partícula

\[\psi^*(x_1,y_1,z_1,t)\psi(x_1,y_1,z_1,t)dx_1dy_1dz_1\]

es la probabilidad de que la partícula esté en el volumen\(dx\;dy\;dz\) localizado en\(x_l, y_l, z_l\) el momento\(t\).

Para un sistema de muchas partículas, escribimos el elemento volumen como\(d\tau = dx_1dy_1dz_1\dots dx_ndy_ndz_n\); y\(Ψ^*(r,t)Ψ(r,t)dτ\) es la probabilidad de que la partícula 1 esté en el volumen\(dx_ldy_ldz_1\) en\(x_ly_lz_l\) y la partícula 2 esté en el volumen\(dx_2dy_2dz_2\) en\(x_2y_2z_2\), etc.

Debido a esta interpretación probabilística, la función de onda debe normalizarse.

\[ \int \limits _{all space} \psi ^* (r, t) \psi (r , t) d \tau = 1 \label {3-38}\]

El signo integral aquí representa una integral multidimensional que involucra todas las coordenadas:\(x_l \dots z_n\). Por ejemplo, la integración en el espacio tridimensional será una integración sobre\(dV\), que se puede ampliar como:

• \(dV=dx\,dy\,dz\)en coordenadas cartesianas o
• \(dV=r^2\sin{\phi}\, dr\,d\theta \;d\phi\)en coordenadas esféricas o
• \(dV=r\, dr\,d\theta\,dz\)en coordenadas cilíndricas.

Postulado 3

Por cada propiedad observable de un sistema hay un operador mecánico cuántico. El operador para la posición de una partícula en tres dimensiones es solo el conjunto de coordenadas\(x\),\(y\), y\(z\), que se escribe como un vector

\[ r = (x , y , z ) = x \vec {i} + y \vec {j} + z \vec {k} \label {3-39}\]

El operador para un componente de impulso es

\[ \hat {P} _x = -i \hbar \dfrac {\partial}{\partial x} \label {3-40}\]

y el operador de energía cinética en una dimensión es

\[ \hat {T} _x = -\left (\dfrac {\hbar ^2}{2m} \right ) \dfrac {\partial ^2}{\partial x^2} \label {3-14}\]

y en tres dimensiones

\[ \hat {p} = -i \hbar \nabla \label {3-42}\]

y

\[ \hat {T} = \left ( -\dfrac {\hbar ^2}{2m} \right ) \nabla ^2 \label {3-43}\]

El operador hamiltoniano\(\hat{H}\) es el operador de la energía total. En muchos casos solo se considera la energía cinética de las partículas y la energía potencial electrostática o Coulomb debido a sus cargas, pero en general todos los términos que contribuyen a la energía aparecen en el hamiltoniano. Estos términos adicionales dan cuenta de cosas como los campos eléctricos y magnéticos externos y las interacciones magnéticas debidas a los momentos magnéticos de las partículas y su movimiento.

Postulado 4

Las funciones de onda independientes del tiempo de un hamiltoniano independiente del tiempo se encuentran resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

\[\hat {H} (r) \psi (r) = E \psi (r) \label {3-44}\]

Estas funciones de onda se denominan funciones de estado estacionario porque las propiedades de un sistema en tal estado, es decir, un sistema descrito por la función\(\psi(r)\), son independientes del tiempo.

Postulado 5

La evolución temporal o dependencia temporal de un estado se encuentra resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

\[ \hat {H} (r , t) \psi (r , t) = i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi (r , t ) \label {3-45}\]

Para el caso donde\(\hat{H}\) es independiente del tiempo, la parte dependiente del tiempo de la función de onda es\(e^{-iωt}\) donde\(ω = \frac {E}{ħ}\) o equivalentemente\(ν = \frac {E}{h}\), lo que demuestra que la relación energía-frecuencia utilizada por Planck, Einstein y Bohr resulta de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Esta dependencia oscilatoria del tiempo de la amplitud de probabilidad no afecta a la densidad de probabilidad ni a las propiedades observables porque en el cálculo de estas cantidades, la parte imaginaria cancela en multiplicación por el conjugado complejo.

Postulado 6

Si un sistema es descrito por la función propia\(\psi\) de un operador\(\hat{A}\) entonces el valor medido para la propiedad observable correspondiente a siempre\(\hat{A}\) será el valor propio\(a\), que se puede calcular a partir de la ecuación de valor propio.

\[ \hat {A} \psi = a \psi \label {3-46}\]

Postulado 7

Si un sistema es descrito por una función de onda\(\psi\), que no es una función propia de un operador\(\hat{A}\), entonces se obtendrá una distribución de valores medidos, y el valor promedio de la propiedad observable viene dado por la integral del valor de expectativa,

\[\left \langle A \right \rangle = \dfrac {\int \psi ^* \hat {A} \psi d \tau}{\int \psi ^* \psi d \tau} \label {3-47}\]

donde la integración está sobre todas las coordenadas involucradas en el problema. El valor promedio\(\left \langle A \right \rangle\), también llamado valor de expectativa, es el promedio de muchas mediciones. Si la función de onda se normaliza, entonces la integral de normalización en el denominador de la Ecuación (3-47) es igual a 1.

Problemas

• Ejercicio\(\PageIndex{21}\) ¿Qué significa decir una ondafunción se normaliza? ¿Por qué deben normalizarse las funciones de onda?
• Ejercicio\(\PageIndex{22}\) Reescribir Ecuaciones (3-42) y (3-43) usando las definiciones de,\(\nabla\), y\(\nabla _2\).
• Ejercicio\(\PageIndex{23}\) Escribe una definición para un estado estacionario. ¿Cuál es la dependencia del tiempo de la función de onda para un estado estacionario?
• Ejercicio\(\PageIndex{24}\) Mostrar cómo la relación energía-frecuencia utilizada por Planck, Einstein y Bohr resulta de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
• Ejercicio\(\PageIndex{25}\) Mostrar cómo se desprende la relación de Broglie a partir de los postulados de la Mecánica Cuántica utilizando la definición del operador de impulso.
• Ejercicio\(\PageIndex{26}\) ¿Qué cantidad en Mecánica Cuántica te da la densidad de probabilidad para encontrar una partícula en alguna posición especificada en el espacio? ¿Cómo se calcula la posición promedio de la partícula y la incertidumbre en la posición de la partícula a partir de la función de onda?