5.1: La partícula libre
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Obtenemos la ecuación de Schrödinger para la partícula libre usando los siguientes pasos. Primera escritura
\[\hat {H} \psi = E \psi \label {5-1}\]
Siguiente definir el hamiltoniano,
\[\hat {H} = \hat {T} + \hat {V} \label {5-2}\]
y sustituir al operador energético potencial
\[\hat {V} = 0 \label {5-3}\]
y el operador de energía cinética
\[ \hat {T} = -\dfrac {\hbar ^2}{2m} \dfrac {d^2}{dx^2} \label {5-4} \]
para obtener la ecuación de Schrödinger para una partícula libre
\[-\dfrac {\hbar ^2}{2m} \dfrac {d^2 \psi (x)}{dx^2} = E \psi (x) \label {5-5}\]
Un problema importante en la Mecánica Cuántica es encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales, por ejemplo, Ecuación\(\ref{5-5}\). Las ecuaciones diferenciales surgen porque el operador de energía cinética incluye una segunda derivada. Vamos a resolver las ecuaciones diferenciales para algunos de los casos más básicos, pero como este no es un curso de Matemáticas, no entraremos en todos los detalles para otros casos más complicados. Las soluciones que consideramos con el mayor detalle ilustrarán los procedimientos generales y mostrarán cómo surge matemáticamente el concepto físico de cuantificación.
Ya encontramos Ecuación\(\ref{5-5}\) en el último capítulo Capítulo 4. Allí, utilizamos nuestro conocimiento de algunas funciones básicas para encontrar la solución. Ahora resolvemos esta ecuación usando algo de álgebra y lógica matemática. Primero reorganizamos la ecuación\(\ref{5-5}\) y hacemos la sustitución
\[k^2 = \dfrac {2mE}{\hbar^2}. \label{sub}\]
La sustitución en la Ecuación\ ref {sub} es solo una forma de hacer una simplificación. También podrías usar una formulación diferente para la sustitución
\[\alpha = \dfrac {2mE}{\hbar ^2} \nonumber\]
pero entonces encontrarías más tarde que\((\alpha)^{1/2}\) corresponde al oleavector\(k\) que iguala\(\frac {2 \pi}{\lambda}\) y\(\frac {P}{\hbar}\). Así que elegir una variable cuadrada como\(k^2\) en la Ecuación\ ref {sub} es una elección hecha con previsión. Prueba y error es un método que los científicos utilizan para resolver problemas, y los resultados a menudo parecen sofisticados y perspicaces después de que se han encontrado, como elegir\(k^2\) en lugar de\(α\).
Dado que\(E\) es la energía cinética,
\[ E = \dfrac {p^2}{2m} \label {5-6}\]
y vimos en capítulos anteriores que el impulso\(p\) y el oleaje\(k\) están relacionados,
\[p = \hbar k \label {5-7}\]
también podríamos reconocer que\(\dfrac {2mE}{\hbar ^2}\) es tal\(k^2\) como se muestra aquí en la Ecuación\(\ref{5-8}\).
\[ \begin{align} \dfrac {2mE}{\hbar ^2} &= \left (\dfrac {2m}{\hbar ^2}\right ) \left ( \dfrac {p^2}{2m} \right ) \\[4pt] &= \left (\dfrac {\cancel{2m}}{\cancel{\hbar ^2}}\right ) \left ( \dfrac {\cancel{\hbar ^2} k^2}{\cancel{2m}} \right ) \\[4pt] &= k^2 \label {5-8} \end{align}\]
El resultado para Ecuación\(\ref{5-5}\) después de reorganizar y sustituir el resultado de Ecuación\(\ref{5-8}\) es
\[\left ( \dfrac {d^2}{dx^2} + k^2 \right ) \psi (x) = 0 \label {5-9}\]
Esta ecuación diferencial lineal de segundo orden se puede resolver de la misma manera que se resuelve una ecuación cuadrática algebraica. Se separa en dos factores, y cada uno se establece igual a 0. Esta factorización produce dos ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden integrar. Los detalles se muestran en las siguientes ecuaciones.
\[\left ( \dfrac {d^2}{dx^2} + k^2 \right ) \psi (x) = \left(\dfrac {d}{dx} + ik\right) \left(\dfrac {d}{dx} - ik \right) \psi (x) = 0 \label {5-10}\]
La ecuación\(\ref{5-10}\) será verdadera si cualquiera
\[ \left( \dfrac {d}{dx} + ik \right) \psi (x) = 0\]
o
\[ \left( \dfrac {d}{dx} - ik \right) \psi (x) = 0 \label {5-11}\]
Reorganizar y designar las dos ecuaciones y las dos soluciones simultáneamente por un signo + y un signo a produce
\[\dfrac {d \psi _{ \pm} (x) }{\psi _{\pm} (x)} = \pm ik\,dx \label {5-12}\]
lo que lleva a
\[\ln \psi _\pm (x) = \pm ikx + C _{\pm} \label {5-13}\]
y finalmente
\[\psi _{\pm} (x) = A_{\pm} e^{\pm ikx} \label {5-14}\]
Las constantes\(A_+\) y el\(A_-\) resultado de la constante de integración. Los valores de estas constantes están determinados por alguna restricción física que se impone a la solución. Tal restricción se denomina condición de límite. Para la partícula en una caja, discutida anteriormente, la condición límite es que la función de onda debe ser cero en los límites donde la energía potencial es infinita. La partícula libre no tiene tal condición de límite porque la partícula no está restringida a ningún lugar. Otra restricción es la normalización, y aquí las constantes de integración sirven para satisfacer el requisito de normalización.
Mostrar que el operador\(\left(\dfrac {d^2}{dx^2} + k^2\right)\) es igual\(\left(\dfrac {d}{dx} + ik\right) \left(\dfrac {d}{dx} - ik\right)\) y que los dos factores conmutan ya que\(k\) no depende de\(x\). La respuesta es Ecuación\(\ref{5-10}\).
Utilice la restricción de normalización para evaluar\(A_{\pm}\) en la Ecuación\ ref {5-14}.
Solución
Dado que la integral de\(|\psi |^2\) sobre todos los valores de x de\(-∞\) a\(+∞\) es infinita, parece que la función de onda\(\psi \) no se puede normalizar. Podemos sortear esta dificultad si imaginamos que la partícula está en una región del espacio que va desde\(-L\) hasta\(+L\) y considerar acercarse\(L\) al infinito.
La normalización procede entonces de la manera habitual como se muestra a continuación. Observe que las constantes de normalización son reales aunque las funciones de onda sean complejas.
\[ \begin{align*} \int \limits _{-L}^{+L} \psi ^* (x) \psi (x) dx &= A_{\pm} ^* A_{\pm} \int \limits _{-L}^{L} e^{\mp ikx} e^{\pm ikx} dx = 1 \\[4pt] |A_{\pm}|^2 \int \limits _{-L}^{+L} dx &= |A_{\pm}|^2 2L = 1 \\[4pt] A_{\pm} &= [2L]^{-1/2} \end{align*} \]
Escriba las funciones de onda,\(\psi ^+\) y\(\psi ^−\), para la partícula libre, incluyendo explícitamente los factores de normalización que se encuentran en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
Encuentre soluciones a cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
\[ \dfrac {d^2 y(x)}{dx^2} + 25y(x) = 0 \nonumber\]
\[\dfrac {d^2 y(x)}{dx^2} -3y(x) = 0 \nonumber \]
Una propiedad ordenada de las ecuaciones diferenciales lineales es que las sumas de soluciones también son soluciones, o más generalmente, las combinaciones lineales de soluciones son soluciones. Una combinación lineal es una suma con coeficientes constantes donde los coeficientes pueden ser positivos, negativos o imaginarios. Por ejemplo
\[\psi(x) = C_1\psi _+(x) + C_2\psi _−(x) \label {5-15}\]
donde\(C_1\) y\(C_2\) son los coeficientes constantes. Insertando las funciones de la ecuación\(\ref{5-14}\), se obtiene
\[\psi (x) = \dfrac {C_1}{\sqrt {2L}} e^{+ikx} + \dfrac {C_2}{\sqrt {2L}} e^{-ikx} \label {5-16}\]
Al usar la fórmula de Euler,
\[e^{\pm ikx} = \cos (kx) \pm i\sin (kx) \label {5-17}\]
La ecuación\(\ref{5-15}\) se transforma en
\[\psi (x) = C\cos (kx) + D\sin (kx) \label {5-18}\]
donde vemos que k es solo el evector de ondas\(\dfrac{2\pi}{\lambda}\) en la forma trigonométrica de la solución a la ecuación de Schrödinger. Este resultado es consistente con nuestra discusión previa sobre la elección de\(k^2\) representar\(\dfrac {2mE}{ħ^2}\).
Encuentra expresiones para\(C\) y\(D\) en Ecuación\(\ref{5-18}\) para dos casos: when\(C_1 = C_2\) = +1 y when\(C_1\) = +1 y\(C_2\) = -1.
Verificar que las Ecuaciones\(\ref{5-16}\) y\(\ref{5-18}\) son soluciones a la Ecuación de Schrödinger (Ecuación\(\ref{5-5}\)) con el valor propio\(E = \dfrac {\hbar ^2 k^2 }{2m}\).
Demostrar que las funciones de onda que escribió para Ejercicio\(\PageIndex{2}\) son funciones propias del operador de impulso con valores propios\(\hbar k\) y\(-\hbar k\).
Determinar si\(\psi (x)\) en Ecuación\(\ref{5-16}\) es una función propia del operador de impulso.
La densidad de probabilidad para encontrar la partícula libre en cualquier punto del segmento\(-L\) se\(+L\) puede ver trazando\(\psi ^*\psi \) de -L a +L. Esboce estas gráficas para las dos funciones de onda,\(\psi _+\) y\(\psi _−\), que escribió para Ejercicio\(\PageIndex{2}\). Demostrar que el área entre\(\psi ^*\psi \) y el eje x es igual a 1 para cualquier valor de L. ¿Por qué esta área debe ser igual a 1 incluso cuando L se acerca al infinito? ¿Todos los puntos en el espacio son igualmente probables o algunas posiciones son favorecidas por la partícula?
Encontramos funciones de onda que describen la partícula libre, que podría ser un electrón, un átomo o una molécula. Cada función de onda es identificada por el evector de ondas\(k\). Una función de onda nos dice tres cosas sobre la partícula libre: la energía de la partícula, el momento de la partícula y la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en cualquier punto. Has demostrado estas propiedades en Ejercicios\(\PageIndex{5}\),\(\PageIndex{6}\), y\(\PageIndex{8}\). Estas ideas se discuten más a fondo en los siguientes párrafos.
Primero encontramos el impulso de una partícula descrita por\(\psi _+(x)\). También podemos decir que la partícula está en el estado\(\psi _+(x)\). El valor del impulso se encuentra operando en la función con el operador momentum. Recuerde que este problema es unidimensional por lo que las cantidades vectoriales como el evector de ondas o el impulso aparecen como escalares. El resultado se muestra en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
Extraiga el impulso de la función de onda para obtener un electrón libre.
Solución
Primero escribimos el operador de impulso y la función de onda como muestran I y II. El operador de impulso nos dice la operación matemática a realizar sobre la función para obtener el impulso. Completar la operación mostrada en II para obtener III, lo que simplifica a IV.
\[ \underset{I}{-i\hbar \dfrac {d}{dx} \psi _+ (x)} = \underset{II}{-i\hbar \dfrac {d}{dx} A _+ e^{ikx}} = \underset{III}{(-i\hbar) (ik) A_+ e^{ikx}} = \underset{IV}{\hbar k \psi _+ (x)} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\) es otra forma de concluir que el impulso de esta partícula es
\[p = ħk.\]
Aquí la relación momento-longitud de onda Compton-DE Broglie\(p = \hbar k\) aparece a partir de la solución a la ecuación de Schrödinger y la definición del operador de impulso! Para un electrón en el estado\(\psi _−(x)\), de manera similar encontramos\(p = -\hbar k\). Esta partícula se mueve en la dirección menos x, opuesta a la partícula con impulso\(+ħk\).
Ya que\(k = \dfrac {2 \pi}{\lambda}\), ¿cuál es entonces el significado de la longitud de onda para una partícula, por ejemplo, un electrón? La longitud de onda es la longitud de onda de la función de onda que describe las propiedades del electrón. No estamos diciendo que un electrón es una onda en el sentido de que una ola oceánica es una ola; más bien estamos diciendo que se necesita una función de onda para describir las propiedades onduladas del electrón. Por qué el electrón tiene estas propiedades onduladas, sigue siendo un misterio.
Encontramos la energía de la partícula operando en la función de onda con el operador hamiltoniano como se muestra a continuación en la Ecuación\(\ref{5-19}\). Examine cada paso y asegúrese de ver cómo se extrae el valor propio de la función de onda.
\[ \begin{align} \hat {H} \psi _{\pm} (x) &= \dfrac {-\hbar ^2}{2m} \dfrac {d^2}{dx^2} A_{\pm} e^{\pm ikx} \\[4pt] &= \dfrac {-\hbar ^2}{2m} (\pm ik)^2 A_{\pm} e^{\pm ikx} \\[4pt] & = \dfrac {\hbar ^2 k^2}{2m} A_{\pm}e^{\pm ikx} \label {5-19} \end{align}\]
Observe nuevamente cómo el operador trabaja en la ondafunción para extraer de ella una propiedad del sistema. Concluimos que la energía de la partícula es
\[ E = \dfrac { \hbar ^2 k^2}{2m} \label {5-20}\]
Que es solo la relación clásica entre la energía y el impulso de una partícula libre,\(E = \dfrac {p^2}{2m}\). Tenga en cuenta que un electrón con momentum +hk tiene la misma energía que un electrón con momentum -hak. Cuando dos o más estados tienen la misma energía, se dice que los estados y el nivel energético están degenerados.
No hemos encontrado ninguna restricción sobre el impulso o la energía. Estas cantidades no se cuantifican para la partícula libre debido a que no hay condiciones límite. Cualquier onda con cualquier longitud de onda encaja en un espacio ilimitado. La cuantificación resulta de las condiciones límite impuestas a la función de onda, como vimos para la partícula en una caja.
Describir cómo la longitud de onda de una partícula libre varía con la energía de la partícula.
Resumir cómo la información de energía e impulso está contenida en la función de onda y cómo esta información se extrae de la función de onda.
La densidad de probabilidad de una partícula libre en una posición en el espacio\(x_0\) es
\[\psi _{\pm} ^* (x_0) \psi _{\pm} (x_0) = (2L)^{-1} e^{\mp ikx_0} e^{\pm ikx_0} = (2L)^{-1} \label {5-21}\]
De este resultado vemos que la densidad de probabilidad tiene unidades de 1/m; es la probabilidad por metro de encontrar el electrón en el punto\(x_0\). Esta probabilidad es independiente de\(x_0\), el electrón se puede encontrar en cualquier lugar a lo largo del eje x con igual probabilidad. Aunque no tenemos conocimiento de la posición del electrón, sí conocemos exactamente el momento del electrón. Esta relación entre nuestro conocimiento de la posición y el impulso es una manifestación del Principio de Incertidumbre de Heisenberg, que dice que a medida que se reduce la incertidumbre en una cantidad, la incertidumbre en otra cantidad aumenta. Para este caso, conocemos exactamente el impulso y no tenemos conocimiento de la posición de la partícula. La incertidumbre en el impulso es cero; la incertidumbre en la posición es infinita.