7.4: Operadores de Momentum Angular y Valores propios
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El momento angular es un componente clave en las descripciones físicas de los sistemas giratorios. Es importante porque el momento angular, al igual que la energía y el impulso lineal, deben conservarse en cualquier proceso. En consecuencia, el momento angular se utiliza para derivar reglas de selección para transiciones espectroscópicas, determinar qué estados de átomos y moléculas pueden verse afectados por diversas perturbaciones e identificar mecanismos posibles y prohibidos en las reacciones químicas. El momento angular rotacional también explica la división de líneas espectrales en campos eléctricos y magnéticos y las distribuciones angulares de los productos de reacción en fase gaseosa.
Ahora que tenemos las funciones de onda rotacionales que describen los estados rotacionales, necesitamos los operadores de momento angular que nos permitan extraer las propiedades de momento angular de las funciones de onda. En esta sección desarrollamos los operadores para el momento angular total y el componente z del momento angular, y usamos estos operadores para conocer la naturaleza cuantificada del momento angular para una molécula diatómica giratoria.
Dado que la energía de un objeto giratorio está relacionada con su momento angular total M y momento de inercia I,
\[M^2 = 2IE \label {7-33}\]
la cuantificación de la energía derivada del tratamiento cuánto-mecánico de rotación, dada por la Ecuación\ ref {7-33}, significa que también se cuantifica el momento angular total.
\[M^2 = J(J + 1) {\hbar}^2 \label {7-34}\]
En consecuencia,\(J\) se llama el número cuántico de momento angular rotacional. En la ecuación anterior,\(M^2\) se encuentra una cantidad escalar correspondiente al cuadrado de la longitud del vector de momento angular,\(M\). A partir de esta ecuación, podemos aprender algo sobre la magnitud del momento angular de la molécula giratoria, pero nada sobre la orientación.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Mostrar que la combinación de Ecuaciones\ ref {7-33} y\ ref {7-28} conducen a la Ecuación\ ref {7-34}.
Así como hay un operador para la energía\(\hat{H}\), también hay un operador para el cuadrado del momento angular. Podemos descubrir este operador si hacemos algunas sustituciones y reescribimos la Ecuación\ ref {7-15}. Comience con la ecuación\ ref {7-14}, y utilice la función armónica esférica en lugar de la función de producto\(\Theta (\theta) \psi (\varphi)\) para obtener
\[ -\dfrac {\hbar ^2}{2I} \left[ \dfrac {\partial}{\partial r_0} r^2_0 \dfrac {\partial}{\partial r_0} + \dfrac {1}{\sin \theta} \dfrac {\partial}{d \partial} \sin \theta \dfrac {\partial}{d \partial} + \dfrac {1}{\sin ^2 \theta} \dfrac {\partial ^2}{\partial \varphi ^2}\right] Y^{mJ}_J (\theta , \varphi) = EY^{mJ}_J (\theta , \varphi) \label {7-35}\]
Multiplicar ambos lados por 2I y luego usar la ecuación\ ref {7-33} para reemplazar 2IE en el lado derecho con\(M^2\) rendimientos
\[ - \hbar ^2 \left[\dfrac {1}{\sin \theta} \dfrac {\partial}{d \partial} \sin \theta \dfrac {\partial}{d \partial} + \dfrac {1}{\sin ^2 \theta} \dfrac {\partial ^2}{\partial \varphi ^2}\right] Y(\theta , \varphi) = M^2Y (\theta , \varphi) \label {7-36}\]
La ecuación\ ref {7-36} es una ecuación de valor propio. El operador de la izquierda opera en la función armónica esférica para dar un valor para\(M^2\), el cuadrado del momento angular de rotación, multiplicado por la función armónica esférica. Este operador, por lo tanto, debe ser el operador para el cuadrado del momento angular.
\[ \hat {M}^2 = -\hbar ^2 \left[\dfrac {1}{\sin \theta} \dfrac {\partial}{d \partial} \sin \theta \dfrac {\partial}{d \partial} + \dfrac {1}{\sin ^2 \theta} \dfrac {\partial ^2}{\partial \varphi ^2}\right] \label {7-37}\]
Por lo tanto, los armónicos esféricos son funciones propias de\(\hat {M} ^2\) con valores propios dados por la Ecuación\ ref {7-34}, donde\(J\) está el número cuántico de momento angular. La magnitud del momento angular, es decir, la longitud del vector de momento angular\(\sqrt {M^2}\), varía con el número cuántico\(J\). La interpretación clásica de este hecho es que la molécula gira con mayor velocidad angular en un estado con mayor\(J\) ya que ni la masa ni el radio de rotación pueden cambiar.
El número\(m_J\) cuántico está asociado con la\(\varphi\) ecuación -ecuación, Ecuación\ ref {7-20}. La figura\(\PageIndex{8}\) muestra que\(\varphi\) describe la rotación alrededor del eje z. Dado que el momento angular resulta de la rotación alrededor de un eje, parece plausible que el número cuántico MJ esté relacionado con el componente z del momento angular. Para demostrar que esta asociación de m con el componente z del momento angular es realmente correcta, necesitamos escribir un operador para el componente z del momento angular. Cuando operamos la\(\Phi\) función con este operador, esperamos obtener un valor propio para el componente z del momento angular.
Creamos un operador de momento angular cambiando la expresión clásica de momento angular en el operador mecánico cuántico correspondiente. La expresión clásica para el componente z del momento angular es
\[ M_z = xp_y - yp_x \label {7-38}\]
Al sustituir los equivalentes por las coordenadas y momentos obtenemos
\[ \hat {M} _z = -i \hbar \left ( x \dfrac {\partial}{\partial y} - y \dfrac {\partial}{\partial x} \right ) \label {7-39}\]
Después de cambiar a coordenadas esféricas usando la regla de cadena y las identidades trigonométricas,\(\hat {M} _z\) se convierte en
\[ \hat {M} _z = i \hbar \dfrac {\partial}{ \partial \varphi} \label {7-40}\]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Comience con\(\dfrac {\partial}{ \partial \varphi}\) y cambie a coordenadas cartesianas usando la regla de cadena para probar que
\[ \dfrac {\partial}{ \partial \varphi} = x \dfrac {\partial}{ \partial y} - y \dfrac {\partial}{ \partial x}.\]
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Utilice el operador\(\hat {M} _z\) para operar en la forma general de la función de onda\(\phi _m (\varphi)\) dada en la Ecuación\ ref {7-25}. En base a su resultado, ¿cuáles son los valores posibles para el componente z del momento angular?
En el ejercicio\(\PageIndex{15}\) efectivamente producimos una ecuación de valor propio que nos dice que el componente z del momento angular es
\[M_z = m_J \hbar \label {7-41}\]
El componente z del momento angular es muy útil porque proporciona información sobre la orientación del vector de momento angular total,\(M\). La magnitud del vector de momento angular total,\(M\), se puede determinar a partir de\(M^2\), pero es sólo a través del valor de\(M_z\) que sabemos algo sobre la orientación de\(M\).
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Determine las longitudes de los vectores de momento angular\(M\),\(J = 0\), para\(1\), y\(2\) y las longitudes de sus proyecciones en el eje z.
Uno podría esperar de la mecánica clásica para poder obtener los otros dos componentes de momento angular,\(M_x\) y\(M_y\), también. Estos componentes son las proyecciones del vector de momento angular sobre los ejes x e y. Para que las funciones de onda rígidas del rotor sean funciones propias de\(\hat {M}_x\) y, así\(\hat {M}_y\) como\(\hat {M}_z\), estos operadores deben conmutar con\(\hat {M}_z\). No se conmutan. Dado que las ondulaciones rígidas del rotor no son funciones propias de\(\hat {M}_x\) y\(\hat {M}_y\), no podemos obtener sus valores propios, lo cual es otra forma de decir que no podemos saber nada sobre los componentes x e y del momento angular. Solo se puede determinar el componente z del momento angular en el sistema mecánico cuántico. Esta limitación es una manifestación del Principio de Incertidumbre de Heisenberg. Como sabemos\(M_z\) exactamente (no hay incertidumbre), no podemos tener conocimiento de\(M_x\) o\(M_y\) (la incertidumbre debe ser infinita). Esta conclusión significa que el vector de momento angular puede estar apuntando con igual probabilidad en cualquier lugar de un círculo alrededor del eje z, dando todas las proyecciones posibles en los ejes x e y. Ver Figura\(\PageIndex{1}\) para una ilustración con J = 1 y\(m_J = -1\),\(0\), y\(+1\).
Como vimos en Ejercicio\(\PageIndex{16}\), los resultados mecánicos cuánticos para una molécula diatómica giratoria nos proporcionan las magnitudes del vector de momento angular para cada estado, junto con la proyección del vector para ese estado a lo largo del eje z. No podemos obtener información sobre la proyección del vector en los otros dos ejes. Utilizando esta colección de resultados y un poco de trigonometría, podemos construir la imagen física cuantitativa del vector de momento angular para cada uno de los estados rotacionales que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Si\(\alpha\) es el ángulo entre el vector de momento angular y el eje z, entonces en general
\[\cos \alpha = \dfrac {m_J \hbar}{\sqrt {J(J + 1) \hbar ^2}} \label {7-42}\]
donde se\(\alpha\) puede obtener usando el coseno inverso (arccos)
\[ \alpha = arccos \left[ \dfrac {m_J}{\sqrt {J (J + 1)}}\right]\]
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Calcular los posibles ángulos que un vector de momento\(J = 1\) angular puede tener con respecto al eje z.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
¿Cuál es la energía rotacional y el momento angular de una molécula en el estado con\(J = 0\)? Describir la rotación de una molécula en este estado.
Clásicamente, el plano de rotación es perpendicular al vector de momento angular. Podemos ubicar los vectores de momento angular mostrados en la Figura\(\PageIndex{1}\) para cualquier estado rotacional calculando el valor de\(\alpha\) usar los números cuánticos apropiados para ese estado en la Ecuación\ ref {7-43}. Si entonces imponemos la interpretación clásica del vector de momento angular, podemos construir una imagen física de una molécula diatómica giratoria asociada con el vector de momento angular para cada estado rotacional, como se discute en la siguiente sección de este capítulo.