7.7: Descripción general del Rotor Rígido

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Encontramos que las funciones de onda rotacionales son funciones llamadas Armónicos Esféricos, y que estas funciones son productos de Funciones Legendre Asociadas y la\(e^{im} \varphi\) función. Dos números cuánticos,\(J\) y\(m_J\), están asociados con el movimiento de rotación de una molécula diatómica. Los números cuánticos identifican o especifican las funciones particulares que describen estados rotacionales particulares. Las funciones están escritas como

\[ \psi _{J,m_J} (\theta , \varphi) = Y_{J, m_J} (\theta , \varphi) = \Theta ^{|m_J|}_J (\theta) \Phi _{m_J} (\varphi) \label {7-66}\]

El cuadrado absoluto de la función de onda evaluada en un particular\((\theta , \varphi)\) da la densidad de probabilidad para encontrar el eje internuclear alineado en estos ángulos.

Las restricciones en las funciones de onda surgieron de las condiciones de contorno, el requisito de que las funciones sean de valor único y la interpretación de las funciones como amplitudes de probabilidad. Las funciones armónicas esféricas para el rotor rígido tienen estas propiedades necesarias solo cuando\(|m_J| \le J\) y mJ es un número entero. J es el límite superior al valor de mJ, pero no hay límite superior al valor para J. El subíndice J se agrega a mJ como recordatorio de que J controla el rango permitido de mJ.

El momento angular de una molécula diatómica giratoria se cuantifica por las mismas restricciones que cuantifican la energía de un sistema giratorio. Como se resume en la siguiente tabla, el número cuántico del momento angular rotacional, J, especifica tanto la energía como el cuadrado del momento angular. El componente z del momento angular es especificado por mJ.

Los espectros rotacionales consisten en múltiples líneas espaciadas casi por igual porque muchos niveles de rotación se pueblan a temperatura ambiente y el espaciamiento del nivel de energía rotacional aumenta aproximadamente\(2B\) con cada aumento en\(J\). La constante rotacional,\(B\), puede ser utilizada para calcular la longitud del enlace de una molécula diatómica. Las reglas de selección espectroscópica para rotación, mostradas en la tabla Overview, permiten transiciones entre estados J vecinos con la restricción de que mJ cambia en 0 o 1 unidad. Adicionalmente, la molécula debe tener un momento dipolar distinto de cero para poder pasar de un estado a otro al interactuar con la radiación electromagnética. Los factores que interactúan para controlar las intensidades de línea en los espectros rotacionales\((\gamma _{max})\) incluyen la magnitud del momento de transición\(\mu _T\), y la diferencia poblacional entre los estados inicial y final involucrados en la transición,\(\Delta n\).

Hasta ahora se han visto tres modelos mecánicos cuánticos diferentes (la partícula-in-a-box, el oscilador armónico y el rotor rígido) que pueden ser utilizados para describir fenómenos químicamente interesantes (absorción de luz por moléculas de tinte de cianina, la vibración de las moléculas para determinar constantes de fuerza de enlace, y rotación de moléculas para determinar longitudes de enlace). Para estos casos, debe recordar el problema químico, la forma del hamiltoniano y las características de las funciones de onda (es decir, los nombres de las funciones, y sus formas matemáticas y gráficas). También recuerde la estructura del nivel de energía asociada, los valores para los números cuánticos y las reglas de selección para las transiciones eléctrico-dipolo.

Como veremos en el siguiente capítulo, las reglas de selección para el rotor rígido también se aplican al átomo de hidrógeno y otros átomos porque las funciones de onda atómicas incluyen las mismas funciones angulares armónicas esféricas, funciones propias de los operadores de momento angular\(\hat {M} ^2\) y\(\hat {M} _z\). Las reglas de selección son el resultado de integrales de momento de transición que involucran las mismas funciones de onda angulares y, por lo tanto, son las mismas para transiciones rotacionales en moléculas diatómicas y transiciones electrónicas en átomos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Complete la siguiente tabla. Para ver un ejemplo de una tabla terminada, véase el Capítulo 4.

Descripción general de conceptos y ecuaciones clave para el Rotor Rígido

Energía potencial
Hamiltoniano
Ondas
Números cuánticos
Energías
Reglas de selección espectroscópica
Propiedades de Momento Angular