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2.1: Álgebra con números complejos

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    La unidad imaginaria\(i\) se define como la raíz cuadrada de -1:\(i= \sqrt{-1}\). Si\(a\) y\(b\) son números reales, entonces se dice que el número\(c= a+ib\) es complejo. El número real\(a\) es la parte real del número complejo\(c\), y el número real\(b\) es su parte imaginaria. Si\(a=0\), entonces el número es puro imaginario. Todas las reglas de la aritmética ordinaria se aplican con números complejos, solo hay que recordar eso\(i^2=-1\) Por ejemplo, si\(z_1= 2+3i\) y\(z_2=1-4i\):

    • \(z_1+ z_2=3-i\)
    • \(z_1- z_2=1+7i\)
    • \(\dfrac{1}{2} z_1+z_2=2-\dfrac{5}{2} i\)
    • \(z_1z_2=(2+3i)(1-4i)=2-12 i^2-5i=14-5i\)(¡recuerda eso\(i^2 = -1\)!)
    • \(z_1^2=(2+3i)(2+3i)=4+9 i^2+12i=-5+12i\)

    Para dividir números complejos introduciremos el concepto de conjugado complejo.

    Conjugado complejo

    El conjugado complejo de un número complejo se define como el número que tiene la misma parte real y una parte imaginaria que es el negativo del número original. Por lo general se denota con una estrella: Si\(z = x + iy\), entonces\(z^∗ = x − iy\)

    Por ejemplo, el complejo conjugado de\(2-3i\) es\(2+3i\). Observe que el producto siempre\(zz^*\) es real:

    \[\label{complexeq:eq1}(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy+y^2=x^2+y^2.\]

    Usaremos este resultado en un minuto. Por ahora, veamos cómo el conjugado complejo nos permite dividir números complejos con un ejemplo:

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Complex Division

    Dado\(z_1= 2+3i\) y\(z_2=1-4i\) obtener\(z_1/z_2\)

    Solución

    \[\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+3i}{1-4i} \nonumber \]

    Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador:

    \[\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+3i}{1-4i}\dfrac{1+4i}{1+4i} \nonumber\]

    Este “truco” asegura que el denominador sea un número real, ya que siempre\(zz^*\) es real. En este caso,

    \[\begin{align*} (1-4i)(1+4i) &=1-4i+4i-16i^2\\[4pt] &=17. \end{align*}\]

    El numerador es

    \[\begin{align*} (2+3i)(1+4i) &=2+3i+8i+12i^2 \\[4pt] &=-10+11i \end{align*}\]

    Por lo tanto,

    \[\begin{align*}\dfrac{z_1}{z_2} &=\dfrac{2+3i}{1-4i} \\[4pt] &=\displaystyle{\color{Maroon}-\dfrac{10}{17}+\dfrac{11}{17}i} \end{align*}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Calcula\((2-i)^3\) y expresa tu resultado en forma cartesiana (\(a + bi\))

    Solución

    \[ \begin{align*} (2-i)^3 &= (2-i)(2-i)(2-i) \\[4pt] (2-i)(2-i) &=4-4i+i^2 \\[4pt] &=4-4i-1 \\[4pt] &=3-4i \\[4pt] (2-i)(2-i)(2-i) &=(3-4i)(2-i) \\[4pt] &=6-3i-8i+4i^2 \\[4pt] &=6-11i+4(-1) \\[4pt] &=\displaystyle{\color{Maroon}2-11i} \end{align*}\]

    El concepto de conjugado complejo también es útil para calcular la parte real e imaginaria de un número complejo. Dado\(z = x+iy\) y\(z^*=x-iy\), es fácil ver eso\(z+z^*=2x\) y\(z-z^*=2iy\). Por lo tanto:

    \[\label{eq2} Re(z)=\dfrac{z+z^*}{2}\]

    y

    \[Im(z)=\dfrac{z-z^*}{2i}\]

    Quizás te preguntes qué es lo difícil de encontrar las partes reales e imaginarias de un número complejo mediante inspección visual. Ciertamente no es un problema si el número se expresa como\(a+bi\), pero puede ser más difícil cuando se trata de expresiones más complicadas.

    álgebra con números complejos

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