4.4: Problemas

Problema\(\PageIndex{1}\)

En cada caso,

• Identificar las variables dependientes e independientes.
• Determinar si la ecuación diferencial es separable.
• Determinar si la ecuación diferencial es lineal.
• Encuentra la solución general.
• Encuentre la solución particular usando la condición inicial dada.
• Verifique que su solución satisfaga la ecuación diferencial por sustitución.

1. \(\frac{dy}{dx}=\frac{y+2}{x-3}, y(0)=1\)
2. \(x'=e^{x+t}, x'(0)=2\)
3. \(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=2x^4, y(1)=1\)
4. \(\frac{df}{dt}=\frac{3t^2}{f}, f(2)=4\)
5. \(h'(t)+2h(t)=4, h(0)=1\)

Problema\(\PageIndex{2}\)

Considera la reacción\(A \overset{k}{\rightarrow}B\). La tasa de desaparición de A es proporcional a la concentración de A, por lo que:

\[-\frac{d[A]}{dt}=k[A] \nonumber\]

1) Obtener [A]\((t)\) y [B]\((t)\).

2) Utilizando la definición de semivida\((t_{1/2})\), obtener una expresión\((t_{1/2})\) para este mecanismo. Tu resultado será una función de\(k\).

3) Croquis\([A](t)\) y\([B](t)\) para el caso\(k=0.1 s^{-1}\),\([B]_0=0\) y\([A]_0=10^{-3}M\). Recuerda que se espera que hagas esto sin la ayuda de una calculadora.

Problema\(\PageIndex{3}\)

Considera la reacción\(2A \overset{k}{\rightarrow}B\). Este mecanismo se denomina reacción bi-molecular, porque la reacción implica la colisión de dos moléculas de reactivo. En este caso, la tasa de desaparición de A es proporcional al cuadrado de la concentración de A, por lo que:

\[-\frac{1}{2}\frac{d[A]}{dt}=k[A]^2 \nonumber\]

Observe que la tasa es proporcional al cuadrado de la concentración, por lo que esta es una reacción de segundo orden.
Supongamos que la concentración inicial de [A] es [A]\(_0\), y la concentración inicial de [B] es cero.

1. Obtener una expresión para [A]\((t)\).
2. Anotar un balance de masas (una relación relativa a [A] (t), [B] (t), [A]\(_0\) y [B]\(_0\)) y obtener [B]\((t)\).
3. Usando la definición de vida media\((t_{1/2})\), obtener una expresión\((t_{1/2})\) para este mecanismo. Tu resultado será una función de\(k\) y [A]\(_0\).

Problema\(\PageIndex{4}\)

Obtener\([A](t), [B](t),\) y\([C](t)\) para el siguiente mecanismo:

\[A \overset{k}{\rightarrow}B\overset{k}{\rightarrow}C \nonumber\]

Supongamos\([A](0)=[A]_0\), y\([B](0)=[C](0)=0\)

Obsérvese que este problema es idéntico al resuelto en la Sección 4.2 pero con\(k_1=k_2\). Asegúrate de identificar el paso donde los dos problemas se vuelven diferentes.

Problema\(\PageIndex{5}\)

Considera la reacción

\[A \xrightleftharpoons[k_2]{k_1} B \nonumber\]

modelada matemáticamente por la siguiente ODE

\[\frac{d[A]}{dt}=k_2[B]-k_1[A] \nonumber\]

Las constantes,\(k_1\) y\(k_2\) representan las constantes cinéticas en la dirección hacia adelante y hacia atrás respectivamente, y [A] y [B] representan la concentración molar de A y B. Supongamos que se inicia con concentraciones iniciales\([A] (t = 0) = [A]_0\) y\([B](t = 0) = [B]_0\).

La conservación masiva requiere que\([A](t) + [B](t) = [A]_0 + [B]_0\)

1. Obtener [A] (t) y [B] (t) en términos de\(k_1, k_2, [A]_0\) y\([B]_0\).
2. Obtener expresiones para las concentraciones de A y B en equilibrio:\([A]_{eq} =[A](t \rightarrow \infty\)) y\([B]_{eq} =[B](t \rightarrow \infty\)).
3. Demostrar que la constante de equilibrio de la reacción\(\frac{[B]_{eq}}{[A]_{eq}} = K_{eq}\),, puede expresarse como\[\frac{[B]_{eq}}{[A]_{eq}} = \frac{k_1}{k_2} \nonumber\]
4. Asumir eso\(k_1=1 min^{-1}\)\(k_2=\frac{1}{2} min^{-1}\),,\([A]_0=0\) y\([B]_0=0.1 M\), calcular\([A]_{eq}\) y\([B]_{eq}\), y\([B](t)\) bosquejar\([A](t)\) y lo mejor de sus habilidades.