5.3: Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con condiciones de contorno

Nota

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Es posible que hayas notado que todos los ejemplos que discutimos hasta ahora en este capítulo involucran condiciones iniciales, o en otras palabras, condiciones evaluadas al mismo valor del valor independiente. Veremos ahora cómo las condiciones límite dan lugar a importantes consecuencias en las soluciones de ecuaciones diferenciales, que son sumamente importantes en la descripción de los sistemas atómicos y moleculares. Empecemos preguntándonos si todos los problemas de valor límite que involucran ODEs homogéneos de segundo orden tienen soluciones no triviales. La solución trivial es\(y(x)=0\), que es una solución a cualquier ODE homogénea, pero esta solución no es particularmente interesante desde el punto de vista físico. Por ejemplo, resolvamos el siguiente problema:

\[y''(x)+3y(x)=0; \;y('0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

Siguiendo el mismo procedimiento que hemos utilizado en ejemplos anteriores, obtenemos la siguiente solución general:

\[y(x)=a\cos(\sqrt{3}x)+b\sin(\sqrt{3}x) \nonumber\]

La primera condición de límite es\(y'(0)=0\):

\[y'(x)=-\sqrt{3}a\sin(\sqrt{3}x)+\sqrt{3}b\cos(\sqrt{3}x)\rightarrow y'(0)=\sqrt{3}b=0 \rightarrow b=0 \nonumber\]

Por lo tanto, hasta el momento tenemos\(y(x)=a \cos({\sqrt{3}x})\). La segunda condición límite es\(y(1)=0\), entonces

\[y(1)=a \cos{\sqrt{3}}=0\rightarrow a=0 \nonumber\]

Por lo tanto, la única solución particular para estas condiciones de límite particulares es\(y(x)=0\), la solución trivial. Cambiemos la pregunta y nos preguntemos ahora si hay algún número\(\lambda\), para que la ecuación

\[y''(x)+\lambda y(x)=0; \;y'(0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

tiene una solución no trivial. Nuestra solución general depende de si\(\lambda\) es positiva o negativa. Si\(\lambda>0\) tenemos

\[y(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x) \nonumber\]

Observe que estamos utilizando resultados que se obtienen en secciones anteriores, ¡pero necesitarías mostrar todo tu trabajo!

Si\(\lambda<0\) tenemos

\[y(x)=ae^{\sqrt{ |\lambda|}x}+be^{-\sqrt{ |\lambda|}x} \nonumber\]

donde\(|\lambda|\) está el valor absoluto de\(\lambda\).

Veamos\(\lambda<0\) primero el caso. La primera condición límite implica

\[y'(x)= \sqrt{|\lambda|}a e^{\sqrt{ |\lambda|}x} -\sqrt{|\lambda|}b e^{-\sqrt{ |\lambda|}x}\rightarrow y'(0)=\sqrt{|\lambda|}(a-b)=0\rightarrow a=b \nonumber\]

y por lo tanto\(y(x)=a\left(e^{\sqrt{ |\lambda|}x}+e^{-\sqrt{ |\lambda|}x}\right)\). Usando la segunda condición de contorno:

\[y(1)=a\left(e^{\sqrt{ |\lambda|}}+e^{-\sqrt{ |\lambda|}}\right)=0\rightarrow a=0 \nonumber\]

Por lo tanto\(\lambda <0\), si, la solución es siempre\(y(x)=0\), la solución trivial.

Veamos qué pasa si\(\lambda >0\). La solución general es\(y(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)\), y aplicando la primera condición de contorno:

\[y'(x)=-\sqrt{\lambda}a\sin(\sqrt{\lambda}x)+\sqrt{\lambda}b\cos(\sqrt{\lambda}x)\rightarrow y'(0)=\sqrt{\lambda}b=0 \rightarrow b=0 \nonumber\]

Por lo tanto, hasta el momento tenemos\(y(x)=a \cos{\sqrt{\lambda}x}\). La segunda condición límite es\(y(1)=0\), entonces

\[y(1)=a \cos({\sqrt{\lambda}})=0 \nonumber\]

Como antes, sin duda\(a=0\) es una posibilidad, pero esto nuevamente daría la solución trivial, que estamos tratando de evitar. No obstante, esta no es nuestra única opción, porque hay algunos valores de\(\lambda\) que también hacen\(y(1)=0\). Estos son\(\sqrt{\lambda}=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\), o en términos de\(\lambda\):

\[\lambda=\frac{\pi^2}{4}, \frac{9\pi^2}{4}, \frac{25\pi^2}{4} \nonumber\]

Esto significa que

\[y''(x)+ 3 y(x)=0; \;y'(0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

no tiene una solución no trivial, pero

\[y''(x)+ (\pi^2/4) y(x)=0; \;y'(0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

hace. Los valores de\(\lambda\) esa garantía de que la ecuación diferencial tiene soluciones no triviales se denominan valores propios de la ecuación. Las soluciones no triviales se llaman las funciones propias de la ecuación. Acabamos de encontrar los valores propios, pero ¿qué pasa con las funciones propias?

Acabamos de concluir que las soluciones son\(y(x)=a \cos{\sqrt{\lambda}x}\), y ahora lo sabemos\(\sqrt{\lambda}=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\). Podemos escribir las funciones propias como:

\[y(x)=a \cos{\frac{(2n-1)\pi}{2}x} \; \; n=1, 2, 3... \nonumber\]

También podríamos usar\((2n+1)\) con\(n=0,1,2...\). Observe que no tenemos ninguna información que nos permita calcular la constante\(a\), por lo que la dejamos como una constante arbitraria.

Además, observe que aunque tenemos infinitos valores propios, los valores propios son discretos. El término discreto significa que la variable puede tomar valores para un conjunto contable (como los números naturales). Lo contrario de discreto es continuo (como los números reales). Estos valores propios discretos tienen consecuencias muy importantes en la mecánica cuántica. De hecho, probablemente sepas por tus clases introductorias de química que los átomos y las moléculas tienen niveles de energía que son discretos. Los electrones pueden ocupar un orbital o el siguiente, pero no pueden estar en el medio. Estas energías son los valores propios de las ecuaciones diferenciales con condiciones límite, ¡así que este es un ejemplo asombroso de lo que pueden hacer las condiciones límite!