5.5: Problemas

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Problema\(\PageIndex{1}\)

Resuelve los siguientes problemas de valor inicial:

\(\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dx}{dt}-2x=0; \;x(0)=1; \;x'(0)=0\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}+6\frac{dx}{dt}+9x=0; \;x(1)=0; \;x'(1)=1\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}+9x=0; \;x(\pi/3)=0; \;x'(\pi/3)=-1\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}-2\frac{dx}{dt}+2x=0; \;x(0)=1; \;x'(0)=0\)

Problema\(\PageIndex{2}\)

El simple oscilador armónico consiste en un cuerpo que se mueve en línea recta bajo la influencia de una fuerza cuya magnitud es proporcional al desplazamiento\(x\) del cuerpo desde el punto de equilibrio, y cuya dirección es hacia este punto. \[\label{ode2:spring_1} F=-k(x-x_0)\]La fuerza actúa en dirección opuesta a la del desplazamiento. La constante\(k\) es una medida de lo duro o blando que es el resorte.

La ley del movimiento de Newton establece que la fuerza aplicada sobre un objeto es igual a su masa multiplicada por su aceleración. La variable\(h=x-x_0\) representa el desplazamiento del resorte desde su longitud no distorsionada, y la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento. Por lo tanto:\[\label{ode2:spring_2} F=m\frac{d^2h(t)}{dt^2}\]

Combinando ecuaciones\ ref {ode2:spring_1} y\ ref {ode2:spring_2} obtenemos:\[\label{ode2:spring_3} m\frac{d^2h(t)}{dt^2}=-kh(t)\]

que es una ecuación diferencial de segundo orden. Observe que\(m\) (la masa del cuerpo) y\(k\) (la constante de resorte) no son funciones de\(x\).

Supongamos que el desplazamiento\(h\) y la velocidad\(h'\) en el momento\(t=0\) son:\(h(0) = A\) y\(h'(0)=0\). Físicamente, esto significa que el desplazamiento en el tiempo cero es\(A\), y el cuerpo está en reposo.

\(\bullet\)Obtener una expresión para\(h(t)\).

\(\bullet\)¿Cuál es el periodo de la función que encontraste arriba?

En el ejemplo anterior asumimos que las fuerzas debidas a la fricción eran insignificantes. Si el oscilador se mueve en un medio viscoso, necesitamos incluir un término friccional en la ecuación de Newton. La fuerza debida a la fricción es proporcional a la velocidad de la masa (\(h'(t)\)), y la dirección es opuesta al desplazamiento. Por lo tanto:

\[\label{ode2:spring_4} m\frac{d^2h(t)}{dt^2}=-kh(t)-\gamma \frac{dh(t)}{dt}\]

donde\(\gamma\) es una constante que depende de la viscosidad del medio.

\(\bullet\)Obtener una expresión para\(h(t)\). Tendrás que considerar los casos\(\gamma^2<4mk\),\(\gamma^2=4mk\) y\(\gamma^2>4mk\) por separado. Las respuestas se imprimen a continuación para que puedas consultar tus resultados. Asegúrate de mostrar todo tu trabajo paso a paso.

\(\gamma^2<4mk\):
\[h(t)=Ae^{-\gamma t/2m}\left[\cos\left(\frac{at}{2m}\right)+\frac{\gamma}{a}\sin\left(\frac{at}{2m}\right)\right], a=\sqrt{4mk-\gamma^2} \nonumber\]
\(\gamma^2=4mk\):
\[h(t)=A\left(1+\frac{\gamma}{2m}t\right)e^{-\gamma t/2m} \nonumber\]
\(\gamma^2>4mk\):
\[h(t)=\frac{A}{2}e^{-\gamma t/2m}\left[\left(e^{at/2m}+e^{-at/2m}\right)+\frac{\gamma}{a}\left(e^{at/2m}-e^{-at/2m}\right)\right], a=\sqrt{\gamma^2-4mk} \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{3}\)

Encuentre las funciones propias (\(f(x)\)) y los valores propios\(\lambda\) de los siguientes problemas de valores límite:

\(-\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\lambda f(x)\),\(f(0)=0, f'(1)=0\)
\(-\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\lambda f(x)\),\(f'(0)=0, f(\pi)=0\)