6.3: La Ecuación de Laguerre

Hasta ahora utilizamos el método de series de potencia para resolver ecuaciones que se pueden resolver usando métodos más simples. Ahora volvamos nuestra atención a ecuaciones diferenciales que de otra manera no se podrían resolver. Uno de esos ejemplos es la ecuación de Laguerre. Esta ecuación diferencial es importante en la mecánica cuántica porque es una de varias ecuaciones que aparecen en la descripción mecánica cuántica del átomo de hidrógeno. Las soluciones de la ecuación de Laguerre se denominan polinomios de Laguerre, y junto con las soluciones de otras ecuaciones diferenciales, forman las funciones que describen los orbitales del átomo de hidrógeno.

La ecuación de Laguerre es

\[xy''+(1-x)y'+ny=0 \nonumber\]

donde\(n=0, 1, 2...\).

Resolviendo la ecuación n=0 de Laguerre

Aquí, por simplicidad, resolveremos la ecuación para un valor dado de\(n\). Es decir, en lugar de resolver la ecuación para un valor genérico de\(n\), la resolveremos primero para\(n=0\), luego para\(n=1\), y así sucesivamente.

Empecemos con\(n=0\). La ecuación diferencial se convierte entonces en:

\[xy''+y'-xy'=0. \label{Eq1}\]

Comenzamos asumiendo que la solución puede escribirse como:

\[y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4 + \ldots \nonumber\]

y por lo tanto la primera y segunda derivadas son:

\[\begin{aligned} y'(x) &=a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4... \\[4pt] y''(x) &=2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4 + \ldots. \end{aligned} \nonumber\]

Luego conectamos estas expresiones en la ecuación diferencial (Ecuación\ ref {Eq1}):

\[\begin{aligned} xy''+y'-xy' &= 0 \\[4pt] x(2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4 + \ldots)+ (a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)-x(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 + \ldots) &=0 \\[4pt] (2a_2x+2\times 3a_3x^2+3\times 4a_4x^3+4\times 5a_5x^4+5\times 6a_6x^5 + \ldots)+(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 + \ldots)-(a_1x+ 2a_2 x^2+3a_3x^3+4a_4x^4+5a_5x^5 + \ldots)&=0 \end{aligned} \nonumber\]

Entonces agrupamos los términos en el mismo poder de\(x\). No obstante, para evitar escribir una ecuación larga, intentemos poner la información en una tabla. La segunda columna contiene los términos que multiplican cada potencia de\(x\). Sabemos que cada uno de estos términos necesita ser cero, y eso nos dará las relaciones entre los coeficientes que necesitamos.

\(x^0\)	\(a_1\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_1=0\)
\(x^1\)	\(2a_2+2a_2-a_1\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_2=a_1/4\)
\(x^2\)	\(6a_3+3a_3-2a_2\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_3=a_2\times2/9\)
\(x^3\)	\(12a_4+4a_4-3a_3\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_4=a_3\times3/16\)
\(x^4\)	\(20a_5+5a_5-4a_4\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_5=a_4\times4/25\)

La primera fila nos dice que\(a_1=0\), y de las otras filas, concluimos que todos los demás coeficientes con también\(n>1\) son cero. Recordemos eso\(y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4...\), entonces la solución es simple\(y(x)=a_0\) (es decir, la solución es una constante). Esta solución puede ser decepcionante para usted porque no es una función de\(x\). No te preocupes, vamos a conseguir algo más interesante en el siguiente ejemplo.

Resolviendo la ecuación n=1 de Laguerre

Veamos qué pasa cuando\(n=1\). La ecuación diferencial se convierte en

\[xy''+y'-xy'+y=0. \label{Eq10}\]

Como siempre, comenzamos asumiendo que la solución puede escribirse como:

\[y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4 + \ldots \nonumber\]

y por lo tanto la primera y segunda derivadas son:

\[ \begin{align} y'(x) &=a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 + \ldots \\[4pt] y''(x) &=2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4 + \ldots \end{align} \nonumber\]

y luego enchufa estas expresiones en la ecuación diferencial (Ecuación\ ref {Eq10}):

\[\begin{align*} xy''+y'-xy'+y &= 0 \\[4pt] x(2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4...)+(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)-x(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)+(a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4...) &=0 \\[4pt] (2a_2x+2\times 3a_3x^2+3\times 4a_4x^3+4\times 5a_5x^4+5\times 6a_6x^5...)+(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)-(a_1x+ 2a_2 x^2+3a_3x^3+4a_4x^4+5a_5x^5...)+(a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4...) &=0 \end{align*} \nonumber\]

El siguiente paso es agrupar los términos en el mismo poder de\(x\). Hagamos una mesa como hicimos antes:

\(x^0\)	\(a_1+a_0\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_1=-a_0\)
\(x^1\)	\(2a_2+2a_2-a_1+a_1\)	\(=0\)	\(\rightarrow 4a_2=0\)
\(x^2\)	\(6a_3+3a_3-2a_2+a_2\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_3=a_2\times1/9\)
\(x^3\)	\(12a_4+4a_4-3a_3+a_3\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_4=a_3\times2/16\)
\(x^4\)	\(20a_5+5a_5-4a_4+a_4\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_5=a_4\times3/25\)

Eso lo vemos en este caso\(a_1=-a_0\), y\(a_{n>1}=0\). Recordemos que

\[y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4... \nonumber\]

entonces la solución es\(y(x)=a_0(1-x)\).

En química física, definimos los polinomios de Laguerre (\(L_n(x)\)) como la solución de la ecuación de Laguerre con\(a_0=n!\). Esto es arbitrario y algo dependiente del campo. Puede que encuentres otras definiciones, pero nos quedaremos con ellas\(n!\) porque es la que se usa más ampliamente en la química física.

Con los dos últimos ejemplos lo demostramos\(L_0(x)=1\) y\(L_1(x)=1-x\). Obtendrás\(L_2(x)\) y\(L_3(x)\) en tu tarea.