9.4: Una caja de herramientas matemáticas

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En el capítulo 8 aprendimos algunas propiedades importantes de los derivados parciales, y en este capítulo aprendimos sobre diferenciales exactos e inexactos. Vimos muchos ejemplos donde estas propiedades pueden ser utilizadas para crear relaciones entre variables termodinámicas. Por lo general intentaremos calcular lo que queremos a partir de la información que tenemos (que suele ser la información a la que podemos acceder experimentalmente). Acabamos de ver cómo podemos calcular un cambio en la entropía a partir de cantidades que son fáciles de medir en el laboratorio: volumen, temperatura y presión. En el capítulo 8 vimos cómo podemos obtener una expresión de una derivada parcial a partir de derivadas parciales que son mucho más fáciles de calcular.

Resumiré algunas de estas relaciones matemáticas, y la llamaré nuestra “caja de herramientas”. Cuanto más cómodo te pongas usando estas relaciones, más fácil te resultará derivar las relaciones termodinámicas con las que te encontrarás en tus cursos avanzados de química física.

La regla de reciprocidad de Euler (Ecuación\(8.1.1\)):\(\left ( \frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y} \right )=\left ( \frac{\partial ^2f}{\partial y \partial x} \right )\)
La regla inversa (Ecuación\(8.1.2\)):\(\left ( \frac{\partial y}{\partial x} \right )=\frac{1}{\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}\)
La regla del ciclo (Ecuación\(8.1.3\))\(\left ( \frac{\partial y}{\partial x} \right )_z\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )_y\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_x=-1\)
La regla de la cadena (Ecuaciones\(8.3.4\) y\(8.3.5\)):
\(\left ( \frac{\partial u}{\partial r} \right )_\theta=\left ( \frac{\partial u}{\partial x} \right )_y\left ( \frac{\partial x}{\partial r} \right )_\theta+\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )_x\left ( \frac{\partial y}{\partial r} \right )_\theta\)
\(\left ( \frac{\partial u}{\partial \theta} \right )_r=\left ( \frac{\partial u}{\partial x} \right )_y\left ( \frac{\partial x}{\partial \theta} \right )_r+\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )_x\left ( \frac{\partial y}{\partial \theta} \right )_r\)
La definición del diferencial total (Ecuación\(9.1.7\)):\(du=\left (\frac{\partial u}{\partial x_1} \right )_{x_2...x_n} dx_1+\left (\frac{\partial u}{\partial x_2} \right )_{x_1, x_3...x_n} dx_2+...+\left (\frac{\partial u}{\partial x_n} \right )_{x_1...x_{n-1}} dx_n\)
El concepto de diferencial exacto (Sección 9.2)