9.6: Diferenciales exactos e inexactos (Resumen)

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Para resumir, dada una función\(f(x,y)\), su diferencial total\(df\) es, por definición:

\[df=\left (\dfrac{\partial f}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\dfrac{\partial f}{\partial y} \right )_{x} dy \nonumber\]

Dado un diferencial arbitrario

\[df=M(x,y)dx+N(x,y)dy \nonumber\]

donde\(M\) y\(N\) son funciones de\(x\) y\(y\), el diferencial es exacto si es el diferencial total de una función\(f(x,y)\). Para probar la exactitud comparamos la derivada parcial de\(M(x,y)\) con respecto a\(y\), y la derivada parcial de\(N(x,y)\) con respecto a\(x\):

\[\left(\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} \right )_x\overset{?}{=}\left(\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} \right )_y \nonumber\]

Si las derivadas son idénticas, concluimos que el diferencial\(df\) es exacto, y por lo tanto es el diferencial total de una función\(f(x,y)\). Para encontrar la función, notamos que para un diferencial exacto:

\[M(x,y)=\left (\dfrac{\partial f}{\partial x} \right )_{y} \nonumber\]

\[N(x,y)=\left (\dfrac{\partial f}{\partial y} \right )_{x} \nonumber\]

Entonces podemos encontrar la función por integración parcial:

\[f(x,y)=\int df= \int M(x,y) dx ~ ( \text{at constant } y) \nonumber \]

\[f(x,y)=\int df= \int N(x,y) dy ~ ( \text{at constant } x) \nonumber\]

Es importante tener en cuenta que la constante de integración en el primer caso será una función arbitraria de\(y\), y en el segundo caso una función arbitraria de\(x\).

Para un diferencial exacto, la integral de línea no depende de la trayectoria, sino sólo de los puntos inicial y final. Además, debido a que el diferencial es exacto, es el diferencial total de una función de estado\(f(x,y)\). Esto significa que la integral de\(df\) a lo largo de cualquier ruta es simplemente la función\(f\) evaluada en el estado final menos la función\(f\) evaluada en el estado inicial:

\[\int_{c}M(x,y)dx+N(x,y)dy=\int_{c}df=\Delta f=f(x_2,y_2)-f(x_1,y_1) \nonumber\]

donde\(c\) representa el camino que comienza en el punto\((x_1,y_1)\) y termina en el punto\((x_2,y_2)\).

Si los estados inicial y final son idénticos, para un diferencial exacto:

\[\oint df=0 \nonumber\]

Para un diferencial inexacto,\(\int_{c}df\) dependerá en general de la trayectoria\(c\).