10.5: Problemas

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Problema\(\PageIndex{1}\)

La función de onda que describe el estado de un electrón en el orbital 1s del átomo de hidrógeno es:

\[\psi_{1s}=Ae^{-r/a_0}, \nonumber\]

donde\(a_0\) es el radio de Bohr (unidades de distancia), y\(A\) es una constante de normalización.

Calcular\(A\)
calcular\(\left \langle r\right \rangle\), el valor promedio de la distancia del electrón desde el núcleo.
El radio del átomo de hidrógeno se toma como el valor más probable de\(r\) para el orbital 1s. Calcular el radio del átomo de hidrógeno.
¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre a una distancia del núcleo igual a\(a_0/2\)?
¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre a una distancia del núcleo menor que\(a_0/2\)?
Sabemos que la probabilidad de que el electrón se encuentre a una distancia del núcleo\(0 < r < \infty\) es de 1. Utilizando este hecho y el resultado de la pregunta anterior, calcular la probabilidad de que el electrón se encuentre a una distancia del núcleo mayor que\(a_0/2\).

Pista:\(\int x^2 e^{ax}dx=e^{ax}\frac{\left ( 2-2ax+a^2x^2 \right )}{a^3}\)

Nota: ¡Asegúrate de mostrar todos los pasos!

Problema\(\PageIndex{2}\)

La función de onda que describe el estado de un electrón en el orbital 2s del átomo de hidrógeno es:

\[\psi_{2s}=Ae^{-r/2a_0}\left(2-\frac{r}{a_0}\right) \nonumber\]

donde\(a_0\) es el radio de Bohr (unidades de distancia), y A es una constante de normalización.

Calcular\(A\)
Calcular\(\left \langle r\right \rangle\), el valor promedio de la distancia del electrón desde el núcleo.

Problema\(\PageIndex{3}\)

Calcular la constante de normalización de cada uno de los siguientes orbitales:

\[\psi_{2p+1}=A_1 r e^{-r/2a_0}\sin \theta e^{i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p-1}=A_2 r e^{-r/2a_0}\sin \theta e^{-i\phi} \nonumber\]

¹ La integral en\(r\) se resolvió usando la hoja de fórmula

² Si te parece extraño piensa en una situación en la que 20 jóvenes de 18 años se reúnen en una habitación con 4 niños de 60 años. La edad promedio en la habitación es de 25 años, pero la edad más probable es de 18