11.4: Problemas

Problema\(\PageIndex{1}\)

Considere el operador\(\hat A\) definido en Ecuación\(11.1.1\) como\(\hat A=\hat x + \dfrac{d}{dx}\). ¿Es lineal o no lineal? Justificar.

Problema\(\PageIndex{2}\)

¿Cuáles de estas funciones son funciones propias del operador\(-\frac{d^2}{dx^2}\)? Dar el valor propio correspondiente cuando corresponda. En cada caso se\(k\) puede considerar como una constante.

\[f_1(x)=e^{ikx} \nonumber\]

\[f_2(x)=\cos(kx) \nonumber\]

\[f_3(x)=e^{-kx^2} \nonumber\]

\[f_4(x)=e^{ikx}-cos(kx) \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{3}\)

En la mecánica cuántica\(x\), los\(z\) componentes\(y\) y del momento angular están representados por los siguientes operadores:

\[ \begin{align*} \hat{L}_x &=i\hbar\left(\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos\phi}{\tan \theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\[4pt] \hat{L}_y &=i\hbar\left(-\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\sin\phi}{\tan \theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\[4pt] \hat{L}_z &=-i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \end{align*}\]

El operador para el cuadrado de la magnitud del momento angular orbital,\(\hat{L}^2=\hat{L}^2_x +\hat{L}^2_y+\hat{L}^2_z\) es:

\[\hat{L}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{1}{\tan \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right) \nonumber\]

a) Demostrar que los tres orbitales 2p del átomo H son funciones propias de ambos\(\hat{L}^2\) y\(\hat{L}_z\), y determinar los valores propios correspondientes.

\[\psi_{2p0}=\frac{1}{\sqrt{32\pi a_0^3}}r e^{-r/2 a_0}\cos\theta \nonumber\]

\[\psi_{2p+1}=\frac{1}{\sqrt{64\pi a_0^3}}r e^{-r/2 a_0}\sin\theta e^{i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p-1}=\frac{1}{\sqrt{64\pi a_0^3}}r e^{-r/2 a_0}\sin\theta e^{-i\phi} \nonumber\]

b) Calcular\(\hat{L}_x\psi_{2p0}\). ¿Es\(\psi_{2p0}\) y función propia de\(\hat{L}_x\)?

c) Calcular\(\hat{L}_y\psi_{2p0}\). ¿Es\(\psi_{2p0}\) y función propia de\(\hat{L}_y\)?

Problema\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que

\[\left[\hat{L}_z,\hat{L}_x\right]=i\hbar \hat{L}_y \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{5}\)

Para un sistema que se mueve en una dimensión, el operador de impulso se puede escribir como

\[\hat p = i \hbar \frac{d}{dx} \nonumber\]

Encuentra el conmutador\([\hat x, \hat p]\)

Nota:\(\hbar\) se define como\(h/{2 \pi}\), donde\(h\) está la constante de Plank. Se ha definido porque la relación\(h/{2 \pi}\) aparece a menudo en la mecánica cuántica.

Problema\(\PageIndex{6}\)

Demostramos que no\(\psi_1s\) es una función propia de\(\hat T\). Sin embargo, podemos calcular la energía cinética promedio de un electrón 1s,\(\left \langle T \right \rangle\). Utilice Ecuación\(11.3.1\) para calcular una expresión para\(\left \langle T \right \rangle\).

Problema\(\PageIndex{7}\)

Utilice el Hamiltoniano de Ecuación\(11.3.5\) para calcular la energía del electrón en el orbital 1s del átomo de hidrógeno. La función de onda normalizada del orbital 1s es:

\[\psi=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0} \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{8}\)

La expresión de Ecuación se\(11.3.1\) puede utilizar para obtener el valor de expectativa (o promedio) del observable representado por el operador\(\hat{A}\).

El estado de una partícula confinada en una caja unidimensional de longitud a se describe mediante la siguiente función de onda:

\[\psi(x)=\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a} \right )& \mbox{ if } 0\leq x\leq a \\ 0 &\mbox{otherwise} \end{cases} \nonumber\]

El operador de impulso para un sistema unidimensional se introdujo en Problem\(\PageIndex{5}\).

a) Obtener una expresión para\(\hat{p}^2\) y determinar si\(\psi\) es una función propia de\(\hat{p}\) y\(\hat{p}^2\). Si es posible, obtener los valores propios correspondientes.

Pista:\(\hat{p}^2\) es el producto\(\hat{p}\hat{p}\).

b) Determinar si\(\psi\) es una función propia de\(\hat{x}\). Si es posible, obtener los valores propios correspondientes.

c) Calcular los siguientes valores de expectativa:\(\left \langle x \right \rangle\),\(\left \langle p^2 \right \rangle\), y\(\left \langle p \right \rangle\). Comparar con los valores propios calculados en las preguntas anteriores.