13.1: Las soluciones de ecuaciones lineales simultáneas

El concepto de determinantes tiene su origen en la solución de ecuaciones lineales simultáneas. En química física, son una herramienta importante en la mecánica cuántica

Supongamos que desea resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\)y\(y\)):

\[a_1x+b_1y=c_1 \nonumber\]

\[a_2x+b_2y=c_2 \nonumber\]

Para encontrar\(y\), podríamos usar el siguiente procedimiento general: multiplicamos la primera ecuación por\(a_2\) y la segunda por\(a_1\), y restamos una línea de la otra para cancelar el término en\(x\):

\[a_1x+b_1y=c_1\overset{\times a_2}{\rightarrow}a_1a_2x+b_1a_2y=c_1a_2 \nonumber\]

\[a_2x+b_2y=c_2\overset{\times a_1}{\rightarrow}a_1a_2x+b_2a_1y=c_2a_1 \nonumber\]

\[\left.\begin{matrix} a_1a_2x+b_1a_2y=c_1a_2\\ a_1a_2x+b_2a_1y=c_2a_1 \end{matrix}\right\} \rightarrow (b_2a_1-b_1a_2)y=a_1c_2-a_2c_1\rightarrow y=\dfrac{a_1c_2-a_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2} \nonumber\]

Podemos seguir la misma estrategia para encontrar\(x\): multiplicamos la primera ecuación por\(b_2\) y la segunda por\(b_1\), y restamos una línea de la otra para cancelar el término en\(y\):

\[a_1x+b_1y=c_1\overset{\times b_2}{\rightarrow}a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2 \nonumber\]

\[a_2x+b_2y=c_2\overset{\times b_1}{\rightarrow}b_1a_2x+b_2b_1y=c_2b_1 \nonumber\]

\[\left.\begin{matrix} a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2\\ b_1a_2x+b_2b_1y=c_2b_1 \end{matrix}\right\} \rightarrow (b_2a_1-b_1a_2)x=b_2c_1-b_1c_2\rightarrow x=\dfrac{b_2c_1-b_1c_2}{b_2a_1-b_1a_2} \nonumber\]

Definimos un\(2\times 2\) determinante como:

\[\begin{vmatrix} a &b \\ c& d \end{vmatrix}=ad-cb \nonumber\]

El determinante, que se denota con dos barras paralelas, es un número. Por ejemplo,

\[\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 1/2& 2 \end{vmatrix}=3\times 2-(-1)\times 1/2=13/2 \nonumber\]

Veamos las expresiones para las que obtuvimos\(x\) y\(y\), y escribiéndolas en términos de determinantes:

\[x=\dfrac{b_2c_1-b_1c_2}{b_2a_1-b_1a_2}=\dfrac{\begin{vmatrix} c_1 &b_1 \\ c_2& b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2& b_2 \end{vmatrix}} \nonumber\]

\[y=\dfrac{a_1c_2-a_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2}=\dfrac{\begin{vmatrix} a_1 &c_1 \\ a_2& c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2& b_2 \end{vmatrix}} \nonumber\]

Veamos nuestras ecuaciones, y veamos cómo se construyen estos determinantes a partir de los coeficientes.

\[a_1x+b_1y=c_1 \nonumber\]

\[a_2x+b_2y=c_2 \nonumber\]

El determinante en el denominador de ambos\(x\) y\(y\) es el determinante de los coeficientes en el lado izquierdo del signo igual:

\[\left.\begin{matrix} {\color{Red} a_1}x+{\color{Red} b_1}y=c_1\\ {\color{Red} a_2}x+{\color{Red} b_2}y=c_2 \end{matrix}\right\} {\begin{vmatrix} {\color{Red} a_1} &{\color{Red} b_1} \\ {\color{Red} a_2}& {\color{Red} b_2} \end{vmatrix}} \nonumber\]

El numerador en la expresión de\(y\) se construye reemplazando los coeficientes en la\(y\) columna -por los coeficientes en el lado derecho de la ecuación:

\[\left.\begin{matrix} {\color{Red} a_1}x+ b_1y={\color{OliveGreen} c_1}\\ {\color{Red} a_2}x+b_2y={\color{OliveGreen} c_2} \end{matrix}\right\} {\begin{vmatrix} {\color{Red} a_1} &{\color{OliveGreen} c_1} \\ {\color{Red} a_2}& {\color{OliveGreen} c_2} \end{vmatrix}} \nonumber\]

El numerador en la expresión de\(x\) se construye reemplazando los coeficientes en la\(x\) columna -por los coeficientes en el lado derecho de la ecuación:

\[\left.\begin{matrix} a_1x+ {\color{Red} b_1}y={\color{OliveGreen} c_1}\\ a_2x+{\color{Red} b_2}y={\color{OliveGreen} c_2} \end{matrix}\right\} {\begin{vmatrix} {\color{OliveGreen} c_1} &{\color{Red} b_1} \\ {\color{OliveGreen} c_2}&{\color{Red} b_2} \end{vmatrix}} \nonumber\]

Podemos extender esta idea a\(n\) ecuaciones con\(n\) incógnitas (\(x_1, x_2, x_3,...,x_n).\)

\[\begin{matrix} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2 &+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{21}x_1&+& a_{22}c_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n &=b_2\\ \vdots&&\vdots & &\ddots & &\vdots&\vdots\\ a_{n1}x_1&+& a_{n2}c_2&+&\cdots&+&a_{nn}x_n &=b_n\\ \end{matrix} \nonumber\]

Tenga en cuenta que utilizamos dos subíndices para identificar los coeficientes. El primero se refiere a la fila, y el segundo a la columna. Definamos el determinante\(D\) como el determinante de los coeficientes de la ecuación (los del lado izquierdo del signo igual):

\[D=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \nonumber\]

y definamos el determinante\(D_k\) como el obtenido\(D\) por sustitución de la\(kth\) columna de\(D\) por la columna por elementos\(b_1, b_2...b_n\). Por ejemplo,\(D_2\) es

\[D_2=\begin{vmatrix} a_{11} &b_1 &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&b_2 &\cdots &a_{2n} \\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n1} &b_{n} &\cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \nonumber\]

Las incógnitas del sistema de ecuaciones se calculan como:

\[x_1=\dfrac{D_1}{D}, x_2=\dfrac{D_2}{D},...,x_n=\dfrac{D_n}{D} \nonumber\]

Por ejemplo, digamos que queremos encontrar\(x,y\) y\(z\) en el siguiente sistema de ecuaciones:

\[2x+3y+8z=0 \nonumber\]

\[x-\dfrac{1}{2}y-3z=\dfrac{1}{2} \nonumber\]

\[-x-y-z=\dfrac{1}{2} \nonumber\]

Podemos calcular las incógnitas como;

\[x=\dfrac{D_1}{D},y=\dfrac{D_2}{D},z=\dfrac{D_3}{D} \nonumber\]

donde

\[D=\begin{vmatrix} 2 &3 & 8 \\ 1 &-1/2 &-3 \\ -1 &-1 &-1 \end{vmatrix} \nonumber\]

\[D_1=\begin{vmatrix} 0 &3 & 8 \\ 1/2 &-1/2 &-3 \\ 1/2 &-1 &-1 \end{vmatrix} \nonumber\]

\[D_2=\begin{vmatrix} 2 &0 & 8 \\ 1 &1/2 &-3 \\ -1 &1/2 &-1 \end{vmatrix} \nonumber\]

\[D_3=\begin{vmatrix} 2 &3 & 0 \\ 1 &-1/2 &1/2 \\ -1 &-1 &1/2 \end{vmatrix} \nonumber\]

Para ello, necesitamos aprender a resolver\(3\times3\) determinantes, o en general,\(n \times n\) determinantes.