15.5: Inversión Matriz

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La inversa de una matriz cuadrada\(\mathbf{A}\), a veces llamada matriz recíproca, es una matriz\(\mathbf{A}^{-1}\) tal que\(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}\), donde\(\mathbf{I}\) está la matriz de identidad.

Es fácil de obtener\(\mathbf{A}^{-1}\) en el caso de una\(2\times 2\) matriz:

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix};\;\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} e&f \\ g&h \end{pmatrix} \nonumber\]

\[\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e&f \\ g&h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

\[\label{eq:matrices_inverse1} ae+bg=1\]

\[\label{eq:matrices_inverse2} af+bh=0\]

\[\label{eq:matrices_inverse3} ce+dg=0\]

\[\label{eq:matrices_inverse4} cf+dh=1\]

De Ecuaciones\ ref {eq:matrices_inverse1} y\ ref {eq:matrices_inverse3}:\(g=(1-ae)/b=-ce/d\rightarrow ae=cbe/d+1\rightarrow e\left(a-cb/d\right)=1\rightarrow e\left(ad-cb\right)=d\rightarrow e=d/(ad-cb)\). Se pueden obtener expresiones para\(f,g\) y\(h\) de manera similar para obtener:

\[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix} \nonumber\]

Observe que el término\((ad-bc)\) es el determinante de\(\mathbf{A}\), y por lo tanto\(\mathbf{A}^{-1}\) existe sólo si\(|\mathbf{A}|\neq 0\). En otras palabras, no se define la inversa de una matriz singular.

Si piensas en una matriz cuadrada como operador, la inversa “deshace” lo que hace la matriz original. Por ejemplo, la matriz\(\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\), cuando se aplica a un vector\((x,y)\), da\((-2x,y)\):

\[\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x\\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

La inversa de\(\mathbf{A}\), cuando se aplica a\((-2x,y)\), devuelve el vector original,\((x,y)\):

\[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix}\rightarrow \mathbf{A}^{-1}= -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-2 \end{pmatrix} \nonumber\]

\[-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

Por supuesto es posible calcular la inversa de matrices de dimensiones superiores, pero en este curso no se le exigirá que lo haga a mano.