3.6: Funciones de Distribución Continua - la Función de Envolvente es la Derivada del Área

Cuando podemos representar la curva envolvente como una función continua, la curva envolvente es la derivada de la función de distribución de probabilidad acumulativa: La función de distribución acumulativa es\(f\left(u\right)\); la función envolvente es\({df\left(u\right)}/{du}\). La función envolvente es una densidad de probabilidad, y nos referiremos a la función envolvente,\({df\left(u\right)}/{du}\), como la función de densidad de probabilidad. La función de densidad de probabilidad es la derivada, con respecto a la variable aleatoria, de la función de distribución acumulativa. Esta es una consecuencia inmediata del teorema fundamental del cálculo.

Si\(H\left(u\right)\) es el anti-derivado de una función\(h\left(u\right)\), tenemos\({dH\left(u\right)}/{du}=h\left(u\right)\), y el teorema fundamental del cálculo afirma que el área bajo\(h\left(u\right)\), de\(u=a\) a\(u=b\) es

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} h(u) d u &=\int_{a}^{b}\left(\frac{d H(u)}{d u}\right) d u \\[4pt] &=H(b)-H(a) \end{aligned}\nonumber \]

En la presente instancia,\(H(u) = f(u)\), de manera que

\[\int_{a}^{b}\left(\frac{d f(u)}{d u}\right) d u=f(b)-f(a)\nonumber \]

y

\[h(u)=\frac{d f(u)}{du}\nonumber \]

La función envolvente,\(h(u)\), y\(df(u)\) son la misma función.

Este punto también es evidente si consideramos el cambio incremental en el área,\(dA\), bajo un histograma a medida que la variable aumenta de\(u\) a\(u + du\). Si dejamos que la función de envolvente sea\(h(u)\), tenemos

\[dA=h(u)du\nonumber \]

o

\[h(u) = \dfrac{dA}{du}\nonumber \]

Es decir, la función envolvente es la derivada del área con respecto a la variable aleatoria,\(u\). El área es\(f(u)\), por lo que la función envolvente es\(h(u)=df(u)/du\).

Al llamar a la curva de envolvente, la función de densidad de probabilidad enfatiza que es análoga a una función que expresa la densidad de la materia. Es decir, para un cambio incremental en\(u\), el cambio incremental en la probabilidad es

\[Δ(probability)= \dfrac{df}{du} Δu\nonumber \]

análogo al cambio incremental en la masa que acompaña a un cambio incremental en el volumen

\[Δ(mass)= density \times Δ(volume)\nonumber \]

donde

\[density=\dfrac{d\left(mass\right)}{d\left(volume\right)}.\nonumber \]

En esta analogía, suponemos que la masa se distribuye en el espacio con una densidad que varía de punto a punto en el espacio. La masa encerrada en cualquier volumen particular viene dada por la integral de la función de densidad sobre el volumen encerrado; es decir,

\[mass=\int_V{\left(density\right)dV}.\nonumber \]

Por el contrario, la densidad en cualquier punto dado es el límite, ya que el volumen envolvente se contrae a cero, de la masa encerrada dividida por la magnitud del volumen envolvente.

De igual manera, para cualquier valor de la variable aleatoria, la densidad de probabilidad es el límite, ya que un intervalo que abarca el valor de la variable aleatoria se reduce a cero, de la probabilidad de que la variable aleatoria esté en el intervalo, dividido por la magnitud del intervalo.