3.11: La varianza del promedio- El teorema del límite central

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El teorema del límite central establece relaciones muy importantes entre las estadísticas para dos distribuciones que están relacionadas de una manera particular. Nos permite comprender algunas características importantes de los sistemas físicos.

El teorema del límite central se refiere a la distribución de los promedios. Si tenemos alguna distribución original y la muestreamos tres veces, podemos calcular el promedio de estos tres puntos de datos. Llama a este promedio\(A_{3,1}\). Podríamos repetir esta actividad y obtener un segundo promedio de tres valores,\(A_{3,2}\). Esto lo podemos hacer en repetidas ocasiones, generando promedios\(A_{3,3}\),...,\(A_{3,n}\). Varias cosas serán ciertas sobre estos promedios:

El conjunto de todos los posibles promedios de tres,\(\{{\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{3},\boldsymbol{i}}\}\), es en sí mismo una distribución. Esta distribución promedio de tres es diferente de la distribución original. Cada promedio de tres es un valor de la variable aleatoria asociada con la distribución de medias de tres.
Cada una de las\({\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{3},\boldsymbol{i}}\) es una estimación de la media de la distribución original.
La distribución de la\({\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{3},\boldsymbol{i}}\) estará menos extendida que la distribución original.

No hay nada único en promediar tres valores. Podríamos muestrear la distribución original siete veces y calcular el promedio de estos siete valores, llamando al resultado\(A_{7,1}\). Repetiendo, podríamos generar promedios\(A_{7,2}\),...,\(A_{7,m}\). Todas las cosas que decimos sobre las medias de tres también son ciertas de estas medias de siete. No obstante, ahora podemos decir algo más: La distribución de la\({\mathrm{A}}_{\mathrm{7,i}}\) será menos extendida que la distribución de la\({\mathrm{A}}_{\mathrm{3,i}}\). Las funciones de densidad de probabilidad correspondientes se esbozan en la Figura 13.

Screen Shot 2019-09-30 al 1.04.22 PM.png — Figura 13. La varianza de un promedio de\(N\) es proporcional a\(1/N\).

El teorema del límite central relaciona la media y varianza de la distribución de promedios con la media y varianza de la distribución original:

Si se toman muestras aleatorias de\(\boldsymbol{N}\) valores de una distribución, cuya media es µ y cuya varianza es\({\boldsymbol{\sigma }}^{\boldsymbol{2}}\) , promedios de estos\(\boldsymbol{N}\) valores,\({\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{N}}\) , son aproximadamente distribuido normalmente con una media de µ y una varianza de\(\boldsymbol{\sigma }^{\boldsymbol{2}}/\boldsymbol{N}\) . La aproximación a la distribución normal se vuelve mejor a medida que\(\boldsymbol{N}\) se hace mayor.

Resulta que el número,\(N\), de ensayos que se necesita para obtener una buena estimación de la varianza es sustancialmente mayor que el número requerido para obtener una buena estimación de la media.