4.4: La función de densidad de probabilidad para velocidades de gas en una dimensión

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En la Sección 4.3, encontramos una ecuación diferencial en la función\({\rho }_x\left(v_x\right)\). A diferencia de la velocidad, que toma valores de cero a infinito, el\(x\) -componente\(v_x\),, toma valores de menos infinito a más infinito. La densidad de probabilidad a una velocidad infinita, en cualquier dirección, es necesariamente cero. Por lo tanto, no podemos evaluar la integral de\(d \rho_x\left(v_x\right)/ \rho_x\left(v_x\right)\) desde\(v_x=-\infty\) a una velocidad arbitraria,\(v_x\). Sin embargo, sabemos por la suposición de Maxwell que la densidad de probabilidad para\(v_x\) debe ser independiente de si la molécula está viajando en la dirección del\(x\) eje positivo o del\(x\) eje negativo. Es decir,\(\rho_x\left(v_x\right)\) debe ser una función par; la función de densidad de probabilidad debe ser simétrica alrededor\(v_x=0\);\(\rho_x\left(v_x\right)=\rho_x\left(-v_x\right)\). De ahí que podamos expresar\(\rho_x\left(v_x\right)\) relativo a su valor fijo,\( \rho_x\left(0\right)\), at\(v_x=0\). Nos integramos\(d \rho_x\left(v_x\right)/ \rho_x\left(v_x\right)\) de\(\rho_x\left(0\right)\) a\(\rho_x\left(v_x\right)\) como\(v_x\) va de cero a una velocidad arbitraria,\(v_x\), para encontrar

\[\int^{\rho_x\left(v_x\right)}_{\rho_x\left(0\right)} \frac{d \rho_x\left(v_x\right)}{\rho_x\left(v_x\right)}=-\lambda \int^{v_x}_0 v_xdv_x\]

\[\rho_x\left(v_x\right)=\frac{df_x\left(v_x\right)}{dv_x}= \rho_x\left(0\right)\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2_x}{2}\right)\]

El valor de\(\rho_x\left(0\right)\) debe ser tal que haga la integral de\(\rho _x\left(v_x\right)\) sobre todos los valores posibles de\(v_x\),\(-\infty < v_x <\infty \), igual a la unidad. Es decir, debemos tener

\[\begin{aligned} 1 & =\int^{\infty}_{-\infty} \rho_x\left(v_x\right) dv_x \\ ~ & =\int^{\infty}_{-\infty} \frac{df_x\left(v_x\right)}{dv_x}dv_x \\ ~ & = \rho_x \left(0\right)\int^{\infty}_{-\infty} \mathrm{exp} \left(\frac{-\lambda v^2_x}{2}\right) dv_x \\ ~ & =\rho_x\left(0\right)\sqrt{\frac{2\pi }{\lambda }} \end{aligned}\]

donde utilizamos la integral definida\(\int^{\infty }_{-\infty } \mathrm{exp} \left(-ax^2\right) dx=\sqrt{ \pi /a}\). (Ver Apéndice D.) De ello se deduce que\( \rho_x\left(0\right)= \left( \lambda /2 \pi \right)^{1/2}\). La función unidimensional de probabilidad-densidad se convierte en

\[\begin{aligned} \rho_x\left(v_x\right) & =\frac{df_x\left(v_x\right)}{dv_x} \\ ~ & = \left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2_x}{2}\right) \end{aligned}\]

Tenga en cuenta que esta es la distribución normal con\(\mu =0\) y\({\sigma }^2={\lambda }^{-1}\). Así\({\lambda }^{-1}\) es la varianza de la función unidimensional normal de probabilidad-densidad. Como se señaló anteriormente, en la Sección 4.6 lo encontramos\(\lambda ={m}/{kT}\).