4.5: Combinando las Funciones de Densidad de Probabilidad Unidimensional

En la Sección 4.4, derivamos la función de densidad de probabilidad para un componente cartesiano de la velocidad de una molécula de gas. Las funciones de densidad de probabilidad para los otros dos componentes cartesianos son la misma función. Para\(\mathop{v}\limits^{\rightharpoonup}=\left(v_x,v_y,v_z\right)\), tenemos\(v^2=v^2_x+v^2_y+v^2_z\), y

\[ \begin{aligned} \frac{df_x\left(v_x\right)}{dv_x}= \left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2_x}{2}\right) \\ \frac{df_y\left(v_y\right)}{dv_y}= \left(\frac{\lambda }{2\pi} \right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2_y}{2}\right) \\ \frac{df_z\left(v_z\right)}{dv_z}= \left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2_z}{2}\right) \end{aligned}\]

Ahora queremos derivar la función de densidad de probabilidad tridimensional a partir de estas relaciones. Dadas estas funciones de densidad de probabilidad para los componentes cartesianos de\(\mathop{v}\limits^{\rightharpoonup}\), podemos encontrar la función de densidad de probabilidad en coordenadas esféricas

\[ \begin{array}{l} \left(\frac{df_x\left(v_x\right)}{dv_x}\right)\left(\frac{df_y\left(v_y\right)}{dv_y}\right)\left(\frac{df_z\left(v_z\right)}{dv_z}\right) \\ = \left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{3/2}\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2_x}{2}\right)exp\left(\frac{-\lambda v^2_y}{2}\right)exp\left(\frac{-\lambda v^2_z}{2}\right) \\ = \left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{3/2}\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2}{2}\right) \\ =\rho \left(v,\theta ,\varphi \right) \end{array}\]

Dado que el elemento de volumen diferencial en coordenadas esféricas es\(v^2 \mathrm{sin} \theta ~ dvd\theta d\varphi\), la probabilidad de que una molécula tenga un vector de velocidad cuya magnitud se encuentre entre\(v\) y\(v+dv\), mientras que su\(\theta\) -componente se encuentra entre\(\theta\) y\(\ \theta +d\theta\), y su\(\varphi\) -componente se encuentra entre \(\varphi\)y\(\varphi +d\varphi\) se convierte

\[\begin{array}{l} \left(\frac{df_v\left(v\right)}{dv}\right)\left(\frac{df_{\theta }\left(\theta \right)}{d\theta }\right)\left(\frac{df_{\varphi }\left(\varphi \right)}{d\varphi }\right)dvd\theta d\varphi \\ ~~ =\rho \left(v,\theta ,\varphi \right)v^2 \mathrm{sin} \theta dvd\theta d\varphi \\ ~~ =\left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{3/2}v^2\mathrm{exp}\left(\frac{-\lambda v^2}{2}\right) \mathrm{sin} \theta dvd\theta d\varphi \end{array}\]

(Encontramos el mismo resultado en la Sección 4.3, por supuesto.) Podemos encontrar la función probabilidad-densidad para la velocidad escalar eliminando la dependencia de los componentes angulares. Para ello, sólo necesitamos resumir, a un valor dado de\(v\), las contribuciones de todos los valores posibles de\(\theta\) y\(\varphi\), recordando que\(0\le \theta <\pi\) y\(0\le \varphi <2\pi\). Esta suma es solo

\[ \begin{aligned} \frac{df_v\left(v\right)}{dv}\int^{\pi }_{\theta =0} \left(\frac{df_{\theta }\left(\theta \right)}{d\theta }\right) d\theta \int^{2\pi }_{\varphi =0} \left(\frac{df_{\varphi }\left(\varphi \right)}{d\varphi }\right)d\varphi = \\ =\left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{3/2}v^2exp\left(\frac{-\lambda v^2}{2}\right)\int^{\pi }_{\theta =0} \mathrm{sin} \theta d\theta \int^{2\pi }_{\varphi =0} d\varphi \end{aligned}\]

Desde\(\int^{\pi }_{\theta =0}{\left(\frac{df_{\theta }\left(\theta \right)}{d\theta }\right)}d\theta =\int^{2\pi }_{\varphi =0}{\left(\frac{{df}_{\varphi }\left(\varphi \right)}{d\varphi }\right)d\varphi }=1\),\(\int^{\pi }_0 \mathrm{sin} \theta d\theta =2\), y\(\int^{2\pi }_0 d\varphi =2\pi\), nuevamente obtenemos la función de probabilidad-densidad Maxwell-Boltzmann para la velocidad escalar:

\[\frac{df_v\left(v\right)}{dv}=4\pi \left(\frac{\lambda }{2\pi }\right)^{3/2}v^2exp\left(\frac{-\lambda v^2}{2}\right)\]

A diferencia de la función de distribución para los componentes cartesianos de velocidad, la distribución Maxwell-Boltzmann para velocidades escalares no es una distribución normal. Las velocidades posibles se encuentran en el intervalo\(0\le v<\infty\). Debido al\(v^2\) término, la ecuación de Maxwell-Boltzmann es asimétrica; tiene una cola pronunciada a altas velocidades.