4.11: La función de densidad de probabilidad para la velocidad relativa

A partir de nuestro desarrollo de las funciones de densidad de probabilidad Maxwell-Boltzmann, podemos expresar la probabilidad de que los componentes de velocidad de la partícula 1 se encuentren en los intervalos\(v_{1x}\) a\(v_{1x}+dv_{1x}\);\(v_{1y}\) a\(v_{1y}+dv_{1y}\);\(v_{1z}\) a\(v_{1z}+dv_{1z}\); mientras que los de la partícula 2 se encuentran simultáneamente en el intervalos\(v_{2x}\) a\(v_{2x}+dv_{2x}\);\(v_{2y}\) a\(v_{2y}+dv_{2y}\);\(v_{2z}\) a\(v_{2z}+dv_{2z}\) como

\[\left(\frac{df\left(v_{1x}\right)}{dv_{1x}}\right)\left(\frac{df\left(v_{1y}\right)}{dv_{1y}}\right)\left(\frac{df\left(v_{1z}\right)}{dv_{1z}}\right)\left(\frac{df\left(v_{2x}\right)}{dv_{2x}}\right)\left(\frac{df\left(v_{2y}\right)}{dv_{2y}}\right)\left(\frac{df\left(v_{2z}\right)}{dv_{2z}}\right)\]

\[\times dv_{1x}dv_{1y}dv_{1z}dv_{2x}dv_{2y}dv_{2z}\]

\[=\left(\frac{df\left(v_1\right)}{dv_1}\right)\left(\frac{df\left(v_2\right)}{dv_2}\right)dv_1dv_2\]

Queremos expresar esta probabilidad usando las coordenadas de velocidad relativa. Dado que la velocidad del centro de masa y la velocidad relativa son independientes, podríamos esperar que el jacobiano de esta transformación sea solo el producto de los dos jacobianos individuales. Este resulta ser el caso. El jacobiano de la transformación

\[\left({\dot{x}}_1,{\dot{y}}_1,{\dot{z}}_1,{\dot{x}}_2,{\dot{y}}_2,{\dot{z}}_2\right)\to \left({\dot{x}}_0,{\dot{,y}}_0,{\dot{z}}_0,{\dot{x}}_{12},{\dot{y}}_{12},{\dot{z}}_{12}\right)\]

es un determinado de seis por seis. Es desordenado, pero sencillo, demostrar que es igual al producto de dos determinantes de tres por tres y que el valor absoluto de este producto es uno. Por lo tanto, tenemos

\[\begin{align*} dv_{1x}dv_{1y}dv_{1z}dv_{2x}dv_{2y}dv_{2z} =& d{\dot{x}}_1d{\dot{y}}_1d{\dot{z}}_1d{\dot{x}}_2d{\dot{y}}_2d{\dot{z}}_2 \\[4pt] &=d{\dot{x}}_0d{\dot{y}}_0d{\dot{z}}_0d{\dot{x}}_{12}d{\dot{y}}_{12}d{\dot{z}}_{12} \end{align*}\]

Transformamos la densidad de probabilidad sustituyendo en las funciones unidimensionales de densidad de probabilidad. Es decir,

\[\begin{align*} \left(\frac{df\left(v_1\right)}{dv_1}\right)\left(\frac{df\left(v_2\right)}{dv_2}\right) &={\left(\frac{m_1}{2\pi kT}\right)}^{3/2} \mathrm{exp}\left(\frac{-m_1\left(v^2_{1x}+v^2_{1y}+v^2_{1z}\right)}{2kT}\right)\times {\left(\frac{m_2}{2\pi kT}\right)}^{3/2} \mathrm{exp}\left(\frac{-m_2\left(v^2_{2x}+v^2_{2y}+v^2_{2z}\right)}{2kT}\right) \\[4pt] &={\left(\frac{m_1m_2}{4\pi^2k^2T^2}\right)}^{3/2}\times \mathrm{exp}\left(\frac{-m_1\left(v^2_{1x}+v^2_{1y}+v^2_{1z}\right)-m_2\left(v^2_{2x}+v^2_{2y}+v^2_{2z}\right)}{2kT}\right) \\[4pt] &= \left(\frac{m_1m_2}{4\pi^2k^2T^2}\right)^{3/2} \times \mathrm{exp}\left(\frac{-\frac{m_1m_2}{\mu}\left(\dot{x}^2_0+\dot{y}^2_0+z^2_0\right)-\mu \left(\dot{x}^2_{12} + \dot{y}^2_{12}+\dot{z}^2_{12}\right)} {2kT} \right) \end{align*}\]

donde la última expresión especifica la densidad de probabilidad en función de las coordenadas de velocidad relativa.

A continuación, hacemos una transformación adicional de las variables. Convertimos la velocidad del centro de masa\(\left({\dot{x}}_0,{\dot{y}}_0,{\dot{z}}_0\right)\), y la velocidad relativa\(\ \left({\dot{x}}_{12},{\dot{y}}_{12},{\dot{z}}_{12}\right)\), de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, referidas al sistema de\(Oxyz\) ejes. (El movimiento del centro de masa se visualiza más fácilmente en el marco original\(Oxyz\). El movimiento relativo,\({\mathop{v}\limits^{\rightharpoonup}}_{12}\), se visualiza más fácilmente en el Marco Centrado en Particle-One,\(\ O_1x^{''}y^{''}z^{''}\). En\(O_1x^{''}y^{''}z^{''}\), el movimiento de la partícula 2 se especifica por\({\dot{x}}^{''}_2={\dot{x}}_{12}\)\({\dot{y}}^{''}_2={\dot{y}}_{12}\),, y\({\dot{z}}^{''}_2={\dot{z}}_{12}.\) El movimiento del centro de masa se especifica por\({\dot{x}}^{''}_0={\mu {\dot{x}}_{12}}/{m_1}\),\({\dot{y}}^{''}_0={\mu {\dot{y}}_{12}}/{m_1}\), y\({\dot{z}}^{''}_0={\mu {\dot{z}}_{12}}/{m_1}\). Dado que es el movimiento relativo lo que realmente interesa, podría parecer que deberíamos referir las coordenadas esféricas al\(O_1x^{''}y^{''}z^{''}\) fotograma. Esta es una distinción innecesaria porque los tres fotogramas de coordenadas son paralelos entre sí,\({\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}}_0\) y\({\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}}_{12}\) son los mismos vectores en los tres fotogramas). Dejando

\[v^2_0={\dot{x}}^2_0+{\dot{y}}^2_0+z^2_0\]

\[v^2_{12}={\dot{x}}^2_{12}+{\dot{y}}^2_{12}+z^2_{12}\]

los componentes de velocidad cartesiana se expresan en coordenadas esféricas mediante

\[{\dot{x}}_0=v_0{ \sin \theta_0\ }{\mathrm{cos} {\varphi }_0\ }\]

\[{\dot{y}}_0=v_0{ \sin \theta_0\ }{ \sin {\varphi }_0\ }\]

\[{\dot{z}}_0=v_0{\mathrm{cos} \theta_0\ }\]

\[{\dot{x}}_{12}=v_{12}{ \sin \theta_{12}\ }{\mathrm{cos} {\varphi }_{12}\ }\]

\[{\dot{y}}_{12}=v_{12}{ \sin \theta_{12}\ }{ \sin {\varphi }_{12}\ }\]

\[{\dot{z}}_{12}=v_{12}{\mathrm{cos} \theta_{12}\ }\]

Los ángulos\(\theta_0\),\(\theta_{12}\),\({\varphi }_0\), y\({\varphi }_{12}\) se definen de la manera habitual en relación con el sistema de\(Oxyz\) ejes. El jacobiano de esta transformación es un determinado de seis por seis; que de nuevo se puede convertir al producto de dos determinados de tres por tres. ENCONTRAMOS

\[{d\dot{x}}_0{d\dot{y}}_0{d\dot{z}}_0{d\dot{x}}_{12}{d\dot{y}}_{12}{d\dot{z}}_{12}=\]\[=v^2_0{ \sin \theta_0\ }dv_0d\theta_0d{\varphi }_0v^2_{12}{ \sin \theta_{12}\ }dv_{12}d\theta_{12}d{\varphi }_{12}\]

La probabilidad de que los componentes de la velocidad del centro de masa se encuentren en los intervalos\(v_0\) a\(v_0+dv_0\);\(\theta_0\) a\(\theta_0+d\theta_0\);\({\varphi }_0\) a\({\varphi }_0+d{\varphi }_0\); mientras que los componentes de la velocidad relativa se encuentran en los intervalos\(v_{12}\) a\(v_{12}+dv_{12}\);\(\theta_{12}\) a\(\theta_{12}+d\theta_{12}\); \({\varphi }_{12}\)a\({\varphi }_{12}+d{\varphi }_{12}\); se convierte

\[{\left(\frac{m_1m_2}{4\pi^2k^2T^2}\right)}^{3/2}exp\left(\frac{-m_1m_2v^2_0}{2\mu kT}\right)exp\left(\frac{-\mu v^2_{12}}{2kT}\right)\times\]

\[v^2_0{ \sin \theta_0\ }dv_0d\theta_0d{\varphi }_0v^2_{12}{ \sin \theta_{12}\ }dv_{12}d\theta_{12}d{\varphi }_{12}\]

Estamos interesados en el incremento de probabilidad para la función de velocidad relativa:velocidad relativa:densidad de probabilidad independientemente de la velocidad del centro de masa. Para sumar las contribuciones para todos los movimientos posibles del centro de masas, integramos esta expresión sobre los posibles rangos de\(v_0\),\(\theta_0\), y\({\varphi }_0\). Tenemos

\[\left(\frac{df\left(v_{12}\right)}{dv_{12}}\right)\left(\frac{df\left(\theta_{12}\right)}{d\theta_{12}}\right)\left(\frac{df\left({\varphi }_{12}\right)}{d{\varphi }_{12}}\right)dv_{12}d\theta_{12}d{\varphi }_{12}=\]

\[={\left(\frac{m_1m_2}{4\pi^2k^2T^2}\right)}^{3/2}\int^{\infty }_0{v^2_0exp\left(\frac{-m_1m_2v^2_0}{2\mu kT}\right)}dv_0\times \int^\pi_0{ \sin \theta_0\ }d\theta_0\int^{2\pi }_0{d{\varphi }_0}\ \times \left[v^2_{12}exp\left(\frac{-\mu v^2_{12}}{2kT}\right){ \sin \theta_{12}\ }dv_{12}d\theta_{12}d{\varphi }_{12}\right]\]

\[={\left(\frac{\mu }{2\pi kT}\right)}^{3/2}v^2_{12}exp\left(\frac{-\mu v^2_{12}}{2kT}\right){ \sin \theta_{12}\ }dv_{12}d\theta_{12}d{\varphi }_{12}\]

Esto es lo mismo que el incremento de probabilidad para una velocidad de una sola partícula, aunque con\(\mu\) reemplazar\(m\);\(v_{12}\) reemplazar\(v\);\(\theta_{12}\) reemplazar\(\theta\); y\({\varphi }_{12}\) reemplazar\(\varphi\). Como en el caso de una sola partícula, podemos obtener el incremento de probabilidad para el componente escalar de la velocidad relativa integrando sobre todos los valores posibles de\(\theta_{12}\) y\({\varphi }_{12}\). ENCONTRAMOS

\[\frac{df\left(v_{12}\right)}{dv_{12}}=4\pi {\left(\frac{\mu }{2\pi kT}\right)}^{3/2}v^2_{12}exp\left(\frac{-\mu v^2_{12}}{2kT}\right){dv}_{12}\]

En el § 8, encontramos la velocidad más probable, la velocidad media y la velocidad cuadrática media para un gas cuyas partículas tienen masa\(m\). Por argumentos idénticos, obtenemos la velocidad relativa más probable, la velocidad relativa media y la velocidad relativa cuadrática media. Para ello, podemos simplemente sustituir\(m\) en\(\mu\) los resultados anteriores. En particular, la velocidad relativa media es

\[{\overline{v}}_{12}=\left\langle v_{12}\right\rangle ={\left(\frac{8kT}{\pi \mu }\right)}^{1/2}\approx 1.596 {\left(\frac{kT}{\pi \mu }\right)}^{1/21}\]

Si las partículas 1 y 2 tienen la misma masa,\(m\), la masa reducida se vuelve\(\mu ={m}/{2}\). En este caso, tenemos

\[\left\langle v_{12}\right\rangle = {\left(\frac{2\left(8kT\right)}{\pi m}\right)}^{1/2}=\sqrt{2}\left\langle v\right\rangle\]

Podemos llegar a esta misma conclusión considerando el movimiento relativo de dos partículas que representa el caso promedio. Como se ilustra en la Figura 9, esto ocurre cuando las dos partículas tienen la misma velocidad\(\left\langle v\right\rangle\), pero se mueven en ángulos de 90 grados entre sí. En esta situación, la longitud del vector resultante, la velocidad relativa, es solo

\[\left|{\overline{v}}_{12}\right|=\left\langle v_{12}\right\rangle =\sqrt{2}\left\langle v\right\rangle.\]