4.14: Colisiones entre moléculas de gas similares

Cuando consideramos colisiones entre diferentes moléculas de gas de la misma sustancia, podemos denotar la velocidad relativa y el valor esperado de la velocidad relativa como\(v_{11}\) y\(\left\langle v_{11}\right\rangle\), respectivamente. Por el argumento que hacemos anteriormente, podemos encontrar el número de colisiones entre cualquiera de estas moléculas y todas las demás. Dejando que esta frecuencia de colisión sea\({\widetilde{\nu }}_{11}\), encontramos

\[\widetilde{\nu }_{11}=N_1\pi {\sigma }^2_{11}\left\langle v_{11}\right\rangle,\]

donde\({\sigma }_{11}=2{\sigma }_1\). Ya que tenemos

\[\left\langle v_{11}\right\rangle =\sqrt{2}\left\langle v_1\right\rangle,\]

mientras

\[\left\langle v_1\right\rangle =\sqrt{{8kT}/{\pi }m_1},\]

tenemos\(\left\langle v_{11}\right\rangle =4\sqrt{{kT}/{\pi }m_1}\). La frecuencia de colisiones entre moléculas de la misma sustancia se vuelve

\[{\widetilde{\nu }}_{11}=N_1\pi {\sigma }^2_{11}\left\langle v_{11}\right\rangle =4N_1{\sigma }^2_{11}{\left(\frac{\pi kT}{m_1}\right)}^{1/2}\]

El tiempo medio entre colisiones,\({\tau }_{11}\), es

\[{\tau }_{11}={1}/{\widetilde{\nu}_{11}}\]

y el camino libre medio,\({\lambda }_{11}\),

\[{\lambda }_{11}=\left\langle v_1\right\rangle {\tau }_{11}=\frac{1}{\sqrt{2}N}_1\pi {\sigma }^2_{11}\]

Cuando consideramos la tasa de colisiones entre todas las moléculas de tipo\(1\) en un contenedor,\({\rho }_{11}\), hay una complicación menor. Si multiplicamos la frecuencia de colisión por molécula\({\widetilde{\nu }}_{11}\), por el número de moléculas disponibles para sufrir tales colisiones\(N_1\), contamos cada colisión dos veces, porque cada colisión involucra dos\(1\) moléculas tipo. Para encontrar la tasa de colisión entre moléculas similares, debemos dividir este producto por 2. Es decir,

\[{\rho }_{11}=\frac{N_1{\widetilde{\nu }}_{11}}{2}=2N^2_1{\sigma }^2_{11}{\left(\frac{\pi kT}{m_1}\right)}^{1/2}\]