4.17: Problemas

1. Para una molécula de oxígeno a 25 C, calcule (a) la velocidad más probable, (b) la velocidad promedio, (c) la velocidad cuadrática media.

2. Para un gas de moléculas de oxígeno a 25 C y 1.00 bar, calcule (a) la frecuencia de colisión, (b) el tiempo medio entre colisiones, (c) la trayectoria libre media. El diámetro de una molécula de oxígeno, estimado a partir de mediciones de viscosidad de gas, es de 3.55 x 10\({}^{-10}\) m.

3. Para las moléculas de oxígeno a 25 C, calcule (a) la fracción con velocidades entre 150 y 151 m s\({}^{-1}\), (b) la fracción con velocidades entre 400 y 401 m s\({}^{-1}\), (c) la fracción con velocidades entre 550 y 551 m\({}^{-1}\) s.

4. Para una molécula de hidrógeno a 100 C, calcule (a) la velocidad más probable, (b) la velocidad promedio, (c) la velocidad cuadrática media.

5. Para un gas de moléculas de hidrógeno a 100 C y 1.00 bar, calcule (a) la frecuencia de colisión, (b) el tiempo medio entre colisiones, (c) la trayectoria libre media. El diámetro de una molécula de hidrógeno, estimado a partir de mediciones de viscosidad de gas, es de 2.71 x 10\({}^{-10}\) m.

6. Para una molécula de hexafluoruro de uranio (UF\({}_{6}\)) a 100 C, calcule (a) la velocidad más probable, (b) la velocidad promedio, (c) la velocidad cuadrática media.

7. Para un gas de moléculas de hexafluoruro de uranio a 100 C y 1.00 bar, calcule (a) la frecuencia de colisión, (b) el tiempo medio entre colisiones, (c) la trayectoria libre media. Supongamos que el diámetro de una molécula de hexafluoruro de uranio es\(7.0\times {10}^{-10}\ \mathrm{m}\).

8. ¿Cuál es la energía cinética promedio de las moléculas de hidrógeno en\(100\) C? ¿Cuál es la energía cinética promedio de las\(\left(UF_6\right)\) moléculas de hexafluoruro de uranio en\(100\) C?

9. Suponiendo que la temperatura en el espacio interestelar es\(2.73\) K, calcula, para un átomo de hidrógeno, (a) la velocidad más probable, (b) la velocidad promedio, (c) la velocidad cuadrática media.

10. Suponiendo que el espacio interestelar esté ocupado enteramente por átomos de hidrógeno a una densidad de partículas de\({10}^2\) moléculas\({\mathrm{m}}^{-3}\), calcule (a) la frecuencia de colisión, (b) el número medio de años entre colisiones, (c) el camino libre medio. Supongamos que el diámetro de un átomo de hidrógeno es\(2.40\times {10}^{-10}\ \mathrm{m}\).

11. Ignorando cualquier efecto atribuible a su carga y asumiendo que la temperatura es\(2.73\) K, calcula, para un electrón en el espacio interestelar, (a) la velocidad más probable, (b) la velocidad promedio, (c) la velocidad cuadrática media.

12. Si una pared de un recipiente lleno de gas contiene un agujero, las moléculas de gas escapan a través del orificio. Si todas las moléculas que chocan con el agujero escapan, pero el agujero es tan pequeño que el número que se escapa no tiene ningún efecto sobre la distribución de velocidad de las moléculas de gas restantes, llamamos efusión al proceso de escape. Es decir, llamamos al proceso derrame sólo si satisface tres criterios bastante estrictos. Primero, el agujero debe ser lo suficientemente grande (y la pared debe ser lo suficientemente delgada) para que la mayoría de las moléculas que pasan por el agujero no golpeen los lados del agujero. Segundo, una molécula que pasa por el agujero no debe chocar con nada del otro lado que pueda enviarla de vuelta a través del agujero hacia el contenedor original. En tercer lugar, el agujero debe ser lo suficientemente pequeño para que las moléculas que escapan no creen un gradiente de presión; la velocidad a la que las moléculas de gas chocan con el agujero y escapan debe estar determinada completamente por la distribución de equilibrio de las velocidades del gas y, por supuesto, el área del agujero. Demostrar que el número de moléculas que fluyen a través de un agujero de área\(A\) en el tiempo\(t\) es

\[At\left(\frac{N}{V}\right) \left(\frac{kT}{2\pi m}\right)^{1/2}\]

donde\(\left({N}/{V}\right)\) es la densidad numérica de las moléculas en el contenedor, y\(m\) es su masa molecular.

13. Un recipiente contiene hidrógeno y oxígeno a\(350\) K y presiones parciales de\(0.50\) bar y\(1.50\) bar, respectivamente. Estos gases se echan al vacío. ¿Cuál es la relación de hidrógeno a oxígeno en el gas de escape?

14. ¿Cómo podríamos usar el derrame para estimar el peso molecular de una sustancia desconocida?

15. Una mezcla equimolar de\({}^{235}UF_6\) y\({}^{238}UF_6\) se somete a derrame. ¿Cuál es la relación de\({}^{235}U\) a\({}^{238}U\) en el gas que se escapa?

16. Calcular el número de moléculas de nitrógeno que chocan con\({10}^{-6}\ \mathrm{m}^2\) de pared adentro\({10}^{-6}\ \mathrm{s}\), si la presión es\(1.00\) bar y la temperatura es\(300\) K.

17. El aire es aproximadamente\(20\%\) oxígeno y\(80\%\) nitrógeno por volumen. Supongamos que las moléculas de oxígeno y nitrógeno tienen un radio de\(1.8\times {10}^{-8}\) m. Para el aire en\(1.0\) bar y\(298\) K, calcule:

(a) El número de colisiones que una molécula de oxígeno produce con moléculas de nitrógeno cada segundo.

b) El número de colisiones que ocurren entre moléculas de oxígeno y nitrógeno en un metro cúbico de aire por segundo.

c) El número de colisiones que una molécula de oxígeno produce con otras moléculas de oxígeno cada segundo.

d) El número de colisiones que ocurren entre moléculas de oxígeno en un metro cúbico de aire cada segundo.

e) El número de colisiones que ocurren entre moléculas de oxígeno y nitrógeno en un metro cúbico cada segundo en las que la energía cinética a lo largo de la línea de centros excede\(100\ \mathrm{kJ}\ \mathrm{mol}^{-1}\) o\(1.66\times {10}^{-19}\) J por colisión.

f) El número de colisiones oxígeno-nitrógeno que se producen en las que la energía cinética a lo largo de la línea de centros supera\(50\) kJ\(\mathrm{mol}^{-1}\).

18. Demostrar que\(\int^{\infty }_0 {\rho }_v\left(v\right) dv\neq 1.\)

19. Para qué elemento de volumen,, es

\[P\left(\textrm{ʋ}\right)=f_{xyz}\left(v_x,v_y,v_z\right)?\]

20. Utilizando el modelo que desarrollamos en la Sección 2.10:

a) Demostrar que la presión,\(P_1\left(v\right)\), atribuible a una sola molécula de masa\(m\) y velocidad\(v\) en un contenedor de volumen\(V\) es

\[P_1\left(v\right)=\frac{mv^2}{3V}\]

b) En la Sección 4.6, encontramos que esta presión es

\[\delta P_1\left(v\right)=\frac{2mv^2 \mathrm{cos}^2 \theta}{V}\]

para una molécula cuyo vector de velocidad se encuentra entre\(\theta\) y\(\theta +d\theta\) y entre\(\varphi\) y\(\varphi +d\varphi\). Esta región angular comprende un ángulo sólido cuya magnitud es\(d\textrm{Ω}= \mathrm{sin} \theta d\theta d\varphi\). Dado que el ángulo sólido que rodea un punto dado es\(4\pi\), la probabilidad de que un vector de velocidad orientado aleatoriamente se encuentre entre\(\theta\)\(\theta +d\theta\) y y entre\(\varphi\) y\(\varphi +d\varphi\) es

\[\frac{d\textrm{Ω}}{4\pi }=\frac{\mathrm{sin} \theta d\theta d\varphi}{4\pi }\]

Por lo tanto, dado que el componente escalar de la velocidad de una molécula es\(v\), su contribución a la presión a\(A\) es

\[dP_1\left(v\right)=\left(\frac{mv^2}{2\pi V}\right) \mathrm{cos}^2 \theta ~ \mathrm{sin} \theta ~ d\theta d\varphi\]

Para encontrar la contribución de presión que realiza esta molécula independientemente de los valores de\(\theta\) y\(\varphi\), debemos integrar\(dP_1\left(v\right)\) sobre todos los valores de\(\theta\) y\(\varphi\) que permitan que la molécula impacte en la pared en\(A\). Recordando que estos rangos son\(0\le \theta <{\pi }/{2}\) y\(0\le \varphi <2\pi\), muestran que

\[P_1\left(v\right)=\frac{mv^2}{3V}\]

21. Tomando\(P_1\left(v\right)={mv^2}/{3V}\) como contribución hecha a la presión por una molécula cuya velocidad es\(v\):

(a) Demostrar que el valor esperado para la contribución hecha a la presión por una molécula cuando la función de distribución Maxwell—Boltzmann describe la distribución de velocidades moleculares es

\[\left\langle P_1\left(v\right)\right\rangle =\frac{kT}{V}\]

b) Demostrar que la varianza de la contribución hecha a la presión por una molécula es

\[{\sigma }^2_{P_1\left(v\right)}=\frac{2k^2T^2}{3V^2}\]

¿Cuál es la desviación estándar,\({\sigma }_{P_1\left(v\right)}\)?

c) Cuál es el valor de la relación

\[\frac{\sigma_{P_1\left(v\right)}}{ \left\langle P_1\left(v\right)\right\rangle}\]

d) Tomando\(3\times {10}^{15}\) como número de colisiones de\(N_2\) moléculas a\(1\) bar y\(300\) K con un milímetro cuadrado por microsegundo, ¿qué presión\(P_{avg}\), encontraríamos si pudiéramos medir la contribución individual que hace cada colisión y calcular su promedio? ¿Cuál sería la varianza,\({\sigma }^2_{avg}\), de esta media? La desviación estándar,\({\sigma }_{avg}\)? ¿El ratio\({\sigma }_{avg}/P_{avg}\)?

22. Dejar\(\epsilon =mv^2/2\) ser la energía cinética traslacional de una molécula de gas cuya masa es\(m\). Mostrar que la función de densidad de probabilidad para\(\epsilon\) es

\[\frac{df}{d\epsilon }=2\pi \left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2}exp\left(\frac{-\epsilon }{kT}\right)\]

Dejar que la energía cinética traslacional por mol sea\(E=\overline{N}\epsilon\), demuestra que

\[\frac{df}{dE}=2\pi \left(\frac{1}{\pi RT}\right)^{3/2}E^{1/2}exp\left(\frac{-E}{RT}\right)\]

Notas

\({}^{1}\)Nuestro modelo de colisión y el tratamiento cuantitativo del papel de la energía de activación en las velocidades de reacción química siguen los dados por Arthur A. Frost y Ralph G. Pearson, Kinetics and Mechanism, 2\({}^{nd}\) Ed., John Wiley and Sons, Nueva York, 1961, pp 65-68. Véase también R. H. Fowler, Mecánica Estadística, Cambridge University Press, Nueva York, 1936.