19.4: Aproximación de Stirling

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El coeficiente polinómico,\(C\), es una función de las factoriales de grandes números. Dado que\(N!\) rápidamente se vuelve muy grande a medida que\(N\) aumenta, a menudo no es práctico evaluar a\(N!\) partir de la definición,

\[N!=\left(N\right)\left(N-1\right)\left(N-2\right)\dots \left(3\right)\left(2\right)\left(1\right)\]

Afortunadamente, está disponible una aproximación, conocida como la fórmula de Stirling o la aproximación de Stirling. La aproximación de Stirling es producto de factores. Dependiendo de la aplicación y la precisión requerida, uno o dos de estos factores a menudo pueden tomarse como unidad. La aproximación de Stirling es

\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\mathrm{exp}\left(\frac{1}{12N}\right)\approx N^N\left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\approx N^N\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

En muchos argumentos estadísticos termodinámicos, la cantidad importante es el logaritmo natural de\(N!\) o su derivado,\({d ~ { \ln N!\ }}/{dN}\). En tales casos, la última versión de la aproximación de Stirling suele ser adecuada, a pesar de que ofrece una aproximación bastante pobre para\(N!\) sí misma.