19.5: Problemas

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1. Leland consiguió un tren listo para Navidad. Llegó con siete vagones ferroviarios. (Decimos que los siete autos son “distinguibles”). Cuatro de los vagones de ferrocarril son vagones de caja y tres son carros cisterna. Si distinguimos entre permutaciones en las que los carros de caja están acoplados (alineados) de manera diferente pero no entre permutaciones en las que los carros cisterna están acoplados de manera diferente, ¿de cuántas formas se pueden acoplar los siete autos para que todos los carros cisterna estén juntos? ¿Qué son? ¿Qué fórmula podemos usar para calcular este número?

(Pista: Podemos representar una de las posibilidades como\(b_1b_2b_3b_4T\). Esta es una de las posibilidades en las que los primeros cuatro autos detrás del motor son todos de caja. Existen\(4!\) tales posibilidades; es decir, existen\(4!\) posibles permutaciones para colocar los cuatro carros de caja).

2. Si no nos importa el orden en que se acoplan los vagones de caja, y no nos importa el orden en el que se acoplan los carros cisterna, ¿de cuántas formas se pueden acoplar los vagones de ferrocarril en el problema 1 para que todos los carros cisterna estén juntos? ¿Qué son? ¿Qué fórmula podemos usar para calcular este número?

3. Si distinguimos entre permutaciones en las que los vagones caja o los carros cisterna en el problema 1 se ordenan de manera diferente, ¿de cuántas formas se pueden acoplar los vagones de ferrocarril para que todos los carros cisterna estén juntos? ¿Qué fórmula podemos usar para calcular este número?

4. ¿De cuántas maneras se pueden acoplar los siete vagones ferroviarios del problema 1 si los carros cisterna no necesitan estar juntos?

5. Si, como en el problema anterior, distinguimos entre permutaciones en las que alguno de los vagones se ordena de manera diferente, ¿de cuántas formas se pueden acoplar los vagones de ferrocarril para que no todos los vagones cisterna estén juntos?

6. Si distinguimos entre vagones box y carros cisterna, pero no distinguimos un vagón box de otro vagón box, y no distinguimos un carro cisterna de otro carro cisterna, ¿de cuántas maneras pueden acoplarse los vagones de ferrocarril en el problema 1?

7. Si Leland consigue cinco autos planos por su cumpleaños, tendrá cuatro autos de caja, tres carros tanque y cinco autos planos. ¿De cuántas maneras Leland podrá acoplar (permutar) estos doce vagones de ferrocarril?

8. Si distinguimos entre vagones box y carros cisterna, entre vagones box y autos planos, y entre carros cisterna y autos planos, pero no distinguimos un carro box de otro carro box, y no distinguimos un carro tanque de otro carro tanque, y no distinguimos un carro plano de otro carro plano, cuántos formas en que se pueden acoplar los vagones de ferrocarril en el problema siete? ¿Qué fórmula podemos usar para calcular este número?

9. Se nos dan cuatro canicas distinguibles, etiquetadas\(A--D\), y dos tazas, etiquetadas\(1\) y\(2\). Queremos explorar la cantidad de formas en las que podemos poner dos canicas en copa\(1\) y dos canicas en copa\(2\). Este es el número de combinaciones,\(C\left(2,2\right)\), para el conjunto poblacional\(N_1=2\),\(N_2=2\).

(a) Una combinación es\({\left[AB\right]}_1{\left[CD\right]}_2\). Encuentra las combinaciones restantes. ¿Qué es\(C\left(2,2\right)\)?

b) Hay cuatro permutaciones para la combinación dada en (a):\(\ {\left[AB\right]}_1{\left[CD\right]}_2\);\({\left[BA\right]}_1{\left[CD\right]}_2\);\({\left[AB\right]}_1{\left[DC\right]}_2\);\({\left[BA\right]}_1{\left[DC\right]}_2\). Encuentra todas las permutaciones para cada una de las combinaciones restantes.

c) ¿Cuántas permutaciones hay para cada combinación?

d) Anotar todas las posibles permutaciones de canicas\(A--D\). Demostrar que existe una correspondencia uno a uno con las permutaciones en (b).

(e) Demostrar que el número total de permutaciones es igual al número de combinaciones por el número de permutaciones posibles para cada combinación.

10. Se nos dan siete canicas distinguibles, etiquetadas\(A--G\), y dos tazas, etiquetadas\(1\) y\(2\). Queremos encontrar la cantidad de formas en las que podemos poner tres canicas en copa\(1\) y cuatro canicas en copa\(\ 2\). Es decir, buscamos\(C\left(3,4\right)\), el número de combinaciones en las que\(N_1=3\) y\(N_2=4\). \({\left[ABC\right]}_1{\left[DEFG\right]}_2\)es una de esas combinaciones.

a) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar estas canicas en diferentes órdenes sin intercambiar canicas entre taza\(1\) y copa\(2\)? (Este es el número de permutaciones asociadas con esta combinación).

(b) Encontrar una combinación diferente con\(N_1=3\) y\(N_2=4\).

c) ¿Cuántas permutaciones son posibles para las canicas de la (b)? ¿Cuántas permutaciones son posibles para cualquier combinación con\(N_1=3\) y\(N_2=4\)?

d) Si\(C\left(3,4\right)\) es el número de combinaciones en que\(N_1=3\) y\(N_2=4\), y si\(P\) es el número de permutaciones para cada una de esas combinaciones, ¿cuál es el número total de permutaciones posibles para 7 canicas?

e) ¿De qué otra manera se puede expresar el número de permutaciones posibles para 7 canicas?

f) Equipar sus conclusiones en las incisiones d) y e). Encuentra\(C\left(3,4\right)\).

11.

a) Calcular las probabilidades de 0, 1, 2, 3 y 4 cabezas en una serie de cuatro tiradas de una moneda imparcial. El evento de 2 cabezas es\(\ 20\%\) de estos cinco eventos. Obsérvese particularmente la probabilidad del evento: 2 cabezas en 4 tiradas.

b) Calcular las probabilidades de 0, 1, 2, 3,..., 8 y 9 cabezas en una serie de nueve tiradas de una moneda imparcial. Los eventos de 4 cabezas y 5 cabezas comprenden\(20\%\) de estos diez casos. Calcular la probabilidad de 4 cabezas o 5 cabezas; es decir, la probabilidad de estar en medio\(20\%\) de los posibles eventos.

(c) Calcular las probabilidades de 0, 1, 2, 3,..., 13 y 14 cabezas en una serie de catorce tiradas de una moneda imparcial. Los eventos de 6 cabezas, 7 cabezas y 8 cabezas comprenden 20% de estos quince casos. Calcular la probabilidad de 6, 7 u 8 cabezas; es decir, la probabilidad de estar en medio\(20\%\) de los posibles eventos.

d) ¿Qué sucede con las probabilidades para la mitad\(20\%\) de posibles eventos ya que el número de tiradas se vuelve muy grande? ¿Cómo se relaciona esto con las cabezas de fracción en una serie de tiradas cuando el número total de tiradas se vuelve muy grande?

12. Que el valor de las cabezas de resultado sea uno y el valor de las colas de resultado sea cero. Deje que la “puntuación” de un lanzamiento simultáneo particular de\(n\) monedas sea

\[\mathrm{score}=1\times \left(\frac{number\ of\ heads}{number\ of\ coins}\right)\ +0\times \left(\frac{number\ of\ tails}{number\ of\ coins}\right)\]

Vamos a referirnos a la distribución de puntajes de tiradas de\(n\) monedas como la “\(S_n\)distribución”.

(a) La\(S_1\) distribución comprende dos resultados:\(\mathrm{\{}\) 1 cabeza, 0 cola\(\mathrm{\}}\) y\(\mathrm{\{}\) 0 cabeza, 1 cola\(\mathrm{\}}\).

¿Cuál es la media de la\(S_1\) distribución?

b) ¿Cuál es la varianza de la\(S_1\) distribución?

c) ¿Cuál es la media de la\(S_n\) distribución?

d) ¿Cuál es la varianza de la\(S_n\) distribución?

13. Cincuenta monedas imparciales son arrojadas simultáneamente.

a) Calcular la probabilidad de 25 cabezas y 25 colas.

(b) Calcular la probabilidad de 23 cabezas y 27 colas.

(d) Calcule la relación de sus resultados para las partes (a) y (b).

(e) Calcule la relación de sus resultados para las partes (a) y (c).

14. Para\(N=3,\ 6\) y\(10\), calcular\(\)

a) El valor exacto de\(N!\)

b) El valor de\(N!\) según la aproximación\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\mathrm{exp}\left(\frac{1}{12N}\right)\]

c) El valor de N! según la aproximación\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

d) El valor de N! según la aproximación\[N!\approx N^N\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

e) La relación entre el valor en (b) y el valor correspondiente en (a).

f) La relación entre el valor en (c) y el valor correspondiente en (a).

g) La relación entre el valor en la (d) y el valor correspondiente en (a).

h) Comentario.

15. Buscar,\(d ~ \ln N! /dN\) usando cada una de las aproximaciones\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2} \mathrm{exp}\left(-N\right)\mathrm{exp}\left(\frac{1}{12N}\right)\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2} \mathrm{exp}\left(-N\right)\approx N^N\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

¿Cómo se\(d ~ \ln N! /dN\) comparan las aproximaciones resultantes entre sí a medida que\(N\) se vuelve muy grande?

16. Hay tres niveles de energía disponibles para cualquier molécula en un cristal de la sustancia. Considera un cristal que contenga\(1000\) moléculas. Estas moléculas son distinguibles porque cada una ocupa un sitio único en la red cristalina. ¿Cuántas combinaciones (microestados) están asociadas con el conjunto poblacional\(N_1=800\),\(N_2=150\),\(N_3=50\)?