24.14: Problemas

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1. La función de partición\(Z\), para un sistema de\(N\), moléculas distinguibles, que no interactúan es\(Z=z^N\), dónde\(z\) está la función de partición molecular\(z=\sum{g_i}{\mathrm{exp} \left({-{\epsilon }_i}/{kT}\right)\ }\), y los\({\epsilon }_i\) y\(g_i\) son los niveles de energía disponibles para la molécula y sus degeneraciones. Demostrar que las funciones termodinámicas para el sistema\(N\) -molécula dependen de la función de partición molecular de la siguiente manera:

(a)\(E=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V\)

b)\(S=NkT{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+Nk{ \ln z\ }\)

c)\(A=-NkT{ \ln z\ }\)

d)\(P_{\mathrm{system}}=NkT{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

(e)\(H=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+NkTV{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

f)\(G=-NkT{ \ln z\ }+NkTV{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

2. Cuando el número de estados cuánticos disponibles es mucho mayor que el número de moléculas, la función de partición\(Z\), para un sistema de\(N\), moléculas indistinguibles que no interactúan es\(Z={z^N}/{N!}\), dónde\(z\) está la función de partición molecular,\(z=\sum{g_i}{\mathrm{exp} \left({-{\epsilon }_i}/{kT}\right)\ }\), y la\({\epsilon }_i\) y \(g_i\)son los niveles de energía disponibles para la molécula y sus degeneraciones. Demostrar que las funciones termodinámicas para el sistema de moléculas N dependen de la función de partición molecular de la siguiente manera:

(a)\(E=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V\)

b)\(S=Nk\left[T{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+{ \ln \frac{z}{N}\ }+1\right]\)

c)\(A=-NkT\left[{\mathrm{1+ln} \frac{z}{N}\ }\right]\)

d)\(P_{\mathrm{system}}=NkT{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

(e)\(H=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+NkTV{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

f)\(G=-NkT\left[{\mathrm{1+ln} \frac{z}{N}\ }+V{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\right]\)

3. La función de partición molecular para el movimiento de traslación de un gas ideal es

\[z_t= \left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}V\]

La función de partición para un gas de\(N\), monatómico, moléculas de gas ideal es\(Z={z^N_t}/{N!}\). Demostrar que las funciones termodinámicas son las siguientes:

(a)\(E=\frac{3}{2}NkT\)

b)\(S=Nk\left[\frac{5}{2}+{ \ln \frac{z}{N}\ }\right]\)

c)\(A=-NkT\left[1+{ \ln \frac{z}{N}\ }\right]\)

d)\(P_{\mathrm{system}}=\frac{NkT}{V}\)

(e)\(H=\frac{5}{2}NkT\)

f)\(G=-NkT{ \ln \frac{z}{N}\ }\)

4. Encuentra\(E\),\(S\),\(A\)\(H\), y\(G\) para un mol de Xenon en\(300\) K y\(1\) bar.

Notas

\({}^{1}\)Datos del Manual de Química y Física, 79\({}^{th}\) Ed., David R. Linde, Ed., CRC Press, Nueva York, 1998.