25.2: Estadística Fermi-Dirac y la Función de Distribución Fermi-Dirac

Consideremos la suma de probabilidad total para un sistema de partículas que sigue las estadísticas de Fermi-Dirac. Como antes, dejamos\({\epsilon }_1\),\({\epsilon }_2\),...,\({\epsilon }_i\),... ser las energías de los sucesivos niveles energéticos. Dejamos que\(g_1\)\(g_2\),,...\(g_i\),,... sean las degeneraciones de estos niveles. Dejamos\(N_1\),\(N_2\),...,\(N_i\),... ser el número de partículas en todos los estados cuánticos degenerados de un nivel de energía dado. La probabilidad de encontrar una partícula en un estado cuántico depende del número de partículas en el sistema; tenemos\(\rho \left(N_i,{\epsilon }_i\right)\) más que\(\rho \left({\epsilon }_i\right)\). En consecuencia, no podemos generar la suma de probabilidad total expandiendo una ecuación como

\[1={\left(P_1+P_2+\dots +P_i+\dots \right)}^N.\]

Sin embargo, seguimos asumiendo:

1. Un subconjunto finito de los conjuntos de población disponibles para el sistema representa casi toda la probabilidad cuando el sistema se mantiene en un ambiente de temperatura constante.
2. Esencialmente, el mismo subconjunto finito de conjuntos de población representa casi toda la probabilidad cuando el sistema está aislado.
3. Todos los microestados que tienen una energía dada tienen la misma probabilidad. Dejamos que esta probabilidad sea\({\rho }^{FD}_{MS,N,E}\).

Como antes, la suma de probabilidad total será de la forma\[1=\sum_{\{N_i\}}{W^{FD}\left(N_i,{\epsilon }_i\right)}{\rho }^{FD}_{MS,N,E}\]

Cada uno de esos términos refleja el hecho de que hay\(W^{FD}\left(N_i,{\epsilon }_i\right)\) formas de poner\(N_1\) partículas en los estados\(g_1\) cuánticos del nivel de energía\({\epsilon }_1\), y\(N_2\) partículas en los estados\(g_2\) cuánticos del nivel de energía\({\epsilon }_2\), y, en general,\(N_i\) partículas en el\(g_i\) cuántico estados de nivel energético\({\epsilon }_i\). A diferencia de las estadísticas de Boltzmann, sin embargo, las probabilidades son diferentes para las partículas sucesivas, por lo que el coeficiente\(W^{FD}\) es diferente del coeficiente polinómico, o probabilidad termodinámica,\(W\). En cambio, debemos descubrir la cantidad de formas de poner partículas\(N_i\) indistinguibles en los estados cuánticos\(g_i\) -fold degenerados de energía\({\epsilon }_i\) cuando un estado cuántico dado puede contener como máximo una partícula.

Estas condiciones sólo podrán cumplirse si\(g_i\ge N_i\). Si ponemos\(N_i\) de las partículas en estados cuánticos de energía\({\epsilon }_i\), hay

1. \(g_i\)formas de colocar la primera partícula, pero solo
2. \(g_i-1\)formas de colocar el segundo, y
3. \(g_i-2\)formas de colocar el tercero, y
4. ...
5. \(g_i-\left(N_i-1\right)\)formas de colocar la última de las\(N_i\) partículas.

Esto significa que hay

\[\left(g_i\right)\left(g_i-1\right)\left(g_i-2\right)\dots \left(g_i-\left(N_i+1\right)\right)=\]

\[=\frac{\left(g_i\right)\left(g_i-1\right)\left(g_i-2\right)\dots \left(g_i-\left(N_i+1\right)\right)\left(g_i-N_i\right)\dots \left(1\right)}{\left(g_i-N_i\right)!}=\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!}\]

formas de colocar las\(N_i\) partículas. Debido a que las partículas no pueden distinguirse entre sí, debemos excluir asignaciones que difieran sólo por la forma en que las\(N_i\) partículas son permutadas. Para ello, debemos dividir por\(N_i!\). El número de formas de poner partículas\(N_i\) indistinguibles en estados\(g_i\) cuánticos con no más de una partícula en un estado cuántico es\[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\]

El número de formas de colocar partículas indistinguibles de Fermi-Dirac de la población establecidas\(\{N_1\mathrm{,\ }N_2\mathrm{,\dots ,\ }N_i\mathrm{,\dots }\}\) en los estados energéticos disponibles es

\[W^{FD}\left(N_i,g_i\right)=\left[\frac{g_1!}{\left(g_1-N_1\right)!N_1!}\right]\times \left[\frac{g_2!}{\left(g_2-N_2\right)!N_2!}\right]\times \dots \times \left[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\right]\times \dots =\prod^{\infty }_{i=1}{\left[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\right]}\]

para que la suma de probabilidad total para un sistema Fermi-Dirac se convierta en

\[1=\sum_{\{N_j\}}{\prod^{\infty }_{i=1}{\left[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\right]}{\left[{\rho }^{FD}\left({\epsilon }_i\right)\right]}^{N_i}}\]

Para encontrar la función de distribución Fermi-Dirac, buscamos el conjunto poblacional\(\{N_1\mathrm{,\ }N_2\mathrm{,\dots ,\ }N_i\mathrm{,\dots }\}\) para el cual\(W^{FD}\) es un máximo, sujeto a las limitaciones

\[N=\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}\]y\[E=\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}{\epsilon }_i\]

La función mnemotécnica se convierte en

\[F^{FD}_{mn}=\sum^{\infty }_{i=1}{ \ln g_i!\ } -\sum^{\infty }_{i=1}{\left[\left(g_i-N_i\right){ \ln \left(g_i-N_i\right)\ }-\left(g_i-N_i\right)\right]}-\sum^{\infty }_{i=1}{\left[N_i{ \ln N_i-N_i\ }\right]+\alpha \left[N-\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}\right]} +\ \beta \left[E-\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}{\epsilon }_i\right]\]

Buscamos lo que\(F^{FD}_{mn}\) es un extremo; es decir, el\(N^{\textrm{⦁}}_i\) satisfactorio\(N^{\textrm{⦁}}_i\)

\[ \begin{align*} 0&=\frac{\partial F^{FD}_{mn}}{\partial N_i}=\frac{g_i-N^{\textrm{⦁}}_i}{g_i-N^{\textrm{⦁}}_i}+{ \ln \left(g_i-N^{\textrm{⦁}}_i\right)\ }-1-\frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{N^{\textrm{⦁}}_i}-{ \ln N^{\textrm{⦁}}_i\ }+1-\alpha -\beta {\epsilon }_i \\[4pt] &={ \ln \left(g_i-N^{\textrm{⦁}}_i\right)\ }-{ \ln N^{\textrm{⦁}}_i\ }-\alpha -\beta {\epsilon }_i \end{align*}\]

Resolviendo para\(N^{\textrm{⦁}}_i\), encontramos

\[N^{\textrm{⦁}}_i=\frac{g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}{1+e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}\]

o, equivalentemente,

\[\frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{g_i}=\frac{1}{1+e^{\alpha }e^{\beta {\epsilon }_i}}\]

Si\(1\gg e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}\) (o\(1\ll e^{\alpha }e^{\beta {\epsilon }_i}\)), la función de distribución Fermi-Dirac se reduce a la función de distribución de Boltzmann. Es fácil ver que este es el caso. Desde

\[N^{\textrm{⦁}}_i=\frac{g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}{1+e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}\approx g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}\]

y\(N=\sum^{\infty }_{i=1}{N^{\textrm{⦁}}_i}\), tenemos

\[N=e^{-\alpha }\sum^{\infty }_{i=1}{g_i}e^{-\beta {\epsilon }_i}=e^{-\alpha }z\]

De ello se deduce que\(e^{\alpha }={z}/{N}\). Con\(\beta ={1}/{kT}\), reconocemos que\({N^{\textrm{⦁}}_i}/{N}\) es la distribución de Boltzmann. Para los niveles de energía ocupados,\(e^{-\beta {\epsilon }_i}=e^{-\epsilon_i}/{kT}\approx 1\); de lo contrario,\(e^{-\beta \epsilon_i}=e^{-\epsilon_i/kT}<1\). Esto significa que la distribución Fermi-Dirac simplifica a la distribución de Boltzmann siempre que sea\(1\gg e^{-\alpha }\). Podemos ilustrar que este es típicamente el caso considerando la función de partición para un gas ideal.

Usando la función de partición traslacional para un mol de un gas ideal monatómico de la Sección 24.3, tenemos

\[\begin{align*} e^{\alpha } &=\frac{z_t}{N}=\left[\frac{2\pi mkT}{h^2}\right]^{3/2} \frac{\overline{V}}{\overline{N}} \\[4pt] &=\left[\frac{2\pi mkT}{h^2}\right]^{3/2} \frac{kT}{P^0} \end{align*}\]

Para un gas ideal de peso molecular\(40\) a\(300\) K y\(1\) bar, encontramos\(e^{\alpha }=1.02\times {10}^7\) y\(e^{-\alpha }=9.77\times {10}^{-8}\). Claramente, la condición que asumimos al demostrar que la distribución Fermi-Dirac simplifica a la distribución de Boltzmann es satisfecha por gases moleculares a temperaturas ordinarias. El valor de\(e^{\alpha }\) disminuye a medida que la temperatura y el peso molecular disminuyen. \(e^{\alpha }\approx 1\)Para encontrar un gas molecular, es necesario considerar temperaturas muy bajas.

Sin embargo, la distribución Fermi-Dirac tiene importantes aplicaciones. El comportamiento de los electrones en un conductor se puede modelar bajo el supuesto de que los electrones se comportan como un gas Fermi-Dirac cuyos niveles de energía se describen mediante un modelo de partículas en una caja.