15.5: Apéndice E- Revisión de Cálculo

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E.1 Derivados

Dejar\(f\) ser una función de la variable\(x\), y dejar\(\Del f\) ser el cambio en\(f\) cuando\(x\) cambia por\(\Del x\). Entonces la derivada\(\df/\dx\) es la relación\(\Del f/\Del x\) en el límite a medida que se\(\Del x\) acerca a cero. La derivada también se\(\df/\dx\) puede describir como la velocidad a la que\(f\) cambia con\(x\), y como la pendiente de una curva de\(f\) trazada en función de\(x\).

La siguiente es una breve lista de fórmulas que probablemente sean necesarias. En estas fórmulas,\(u\) y\(v\) son funciones arbitrarias de\(x\), y\(a\) es una constante. \ begin {align*} &\ frac {\ dif (u^a)} {\ dx} = au^ {a-1}\ frac {\ dif u} {\ dx}\ cr &\ frac {\ dif (uv)} {\ dx} = u\ frac {\ dif v} {\ dx} +v\ frac {\ dif u} {\ dx}\ cr &\ frac\ dif (u/v)} {\ dx} =\ izquierda (\ frac {1} {v^2}\ derecha)\ izquierda (v\ frac {\ dif u} {\ dx} -u\ frac {\ dif v} {\ dx}\ derecha)\ cr &\ frac {\ dif\ ln (ax)} {\ dx} =\ frac {1} {x}\ cr &\ frac {\ dif (e^ {ax})} {\ dx} = ae^ {ax}\ cr &\ frac {\ df (u)} {\ dx} =\ frac {\ df (u)} {\ dif u}\ cdot\ frac {\ dif u} {\ dx}\ end {align*}

E.2 Derivadas Parciales

Si\(f\) es una función de las variables independientes\(x\),\(y\), y\(z\), la derivada parcial\(\pd{f}{x}{y,z}\) es la derivada\(\df/\dx\) con\(y\) y\(z\) mantenida constante. Es importante en la termodinámica indicar las variables que se mantienen constantes, ya que no necesariamente\(\pd{f}{x}{y,z}\) es igual a\(\pd{f}{x}{a,b}\) dónde\(a\) y\(b\) son variables diferentes de\(y\) y\(z\).

Las variables que se muestran en la parte inferior de una derivada parcial deberían indicarle qué variables se están utilizando como variables independientes. Por ejemplo, si la derivada parcial es\(\D\Pd{f}{y}{a,b}\) entonces\(f\) está siendo tratada como una función de\(y\),\(a\), y\(b\).

E.3 Integrales

Dejar\(f\) ser una función de la variable\(x\). Imagínese el rango\(x\) entre los límites\(x'\) y\(x''\) dividirlo en muchos pequeños incrementos de tamaño\(\Del x_i (i = 1, 2, \ldots)\). Dejar\(f_i\) ser el valor de\(f\) cuando\(x\) está en el medio del rango del incremento\(i\) th. Entonces la integral\[ \int_{x'}^{x''} \!\! f \dx \] es la suma\(\sum_i f_i \Del x_i\) en el límite a medida que cada uno\(\Del x_i\) se acerca a cero y el número de términos en la suma se acerca al infinito. La integral es también el área bajo una curva de\(f\) trazada en función de\(x\), medida de\(x = x'\) a\(x = x''\). La función\(f\) es el integrando, que se integra sobre la variable de integración\(x\).

Este libro electrónico utiliza las siguientes integrales:\ begin {align*} &\ int_ {x'} ^ {x "}\! \! \ dx = x” -x'\ cr &\ int_ {x'} ^ {x "}\ frac {\ dx} {x} =\ ln\ izquierda|\ frac {x"} {x'}\ derecha|\ cr &\ int_ {x'} ^ {x "}\! \! x^a\ dx =\ frac {1} {a+1}\ left [(x”) ^ {a+1} - (x') ^ {a+1}\ derecha]\ qquad\ tx {(\(a\)es una constante distinta a\(-1\))}\ cr &\ int_ {x'} ^ {x "}\! \! \ frac {\ dx} {ax+b} =\ frac {1} {a}\ ln\ izquierda|\ frac {ax"+b} {ax'+b}\ right|\ qquad\ tx {(\(a\)es una constante)}\ end {align*} Estos son ejemplos del uso de la expresión para la tercera integral con\(a\) conjunto igual a\(1\) y a\(-2\):\ begin {align*} &\ int_ {x'} ^ {x "}\! \! x\ dx =\ frac {1} {2}\ izquierda [(x”) ^2- (x') ^2\ derecha]\ cr &\ int_ {x'} ^ {x "}\! \ frac {\ dx} {x^2} = -\ izquierda (\ frac {1} {x "} -\ frac {1} {x'}\ derecha)\ final {alinear*}

Integrales de línea E.4

Una integral de línea es una integral con una variable de integración única implícita que restringe la integración a una ruta.

La línea integral más vista en este libro electrónico\(\int\!p\dif V\),, servirá de ejemplo. La integral puede evaluarse de tres maneras diferentes:

1. El integrando se\(p\) puede expresar como una función de la variable de integración\(V\), de manera que solo hay una variable. Por ejemplo, si es\(p\) igual\(c/V\) donde\(c\) es una constante, la integral de línea viene dada por\(\int\!p\dif V=c\int_{V_1}^{V_2}(1/V)\dif V = c\ln(V_2/V_1)\).
2. Si\(p\) y se\(V\) puede escribir como funciones de otra variable, como el tiempo, que coordina sus valores para que sigan el camino deseado, esta nueva variable se convierte en la variable de integración.
3. La trayectoria deseada se puede dibujar como una curva en una gráfica de\(p\) versus\(V\); entonces\(\int\!p\dif V\) es igual en valor al área bajo la curva.