5.1: Introducción a la Matriz de Densidad

La matriz de densidad o operador de densidad es una representación alternativa del estado de un sistema cuántico para el cual hemos utilizado previamente la función de onda. Aunque describir un sistema cuántico con la matriz de densidad es equivalente a usar la función de onda, se obtienen ventajas prácticas significativas usando la matriz de densidad para ciertos problemas dependientes del tiempo, particularmente relajación y espectroscopia no lineal en la fase condensada.

La matriz de densidad se define como el producto externo de la función ondulada con su conjugado.

\[\rho (t) \equiv | \psi (t) \rangle \langle \psi (t) | \label{4.1}\]

Esto implica que si especificas un estado\(| x \rangle\), entonces\(\langle x | p | x \rangle\) da la probabilidad de encontrar una partícula en el estado\(| x \rangle\). Su nombre deriva de la observación de que juega el papel cuántico de una densidad de probabilidad. Si piensas en la descripción estadística de un observable clásico obtenido a partir de momentos de una distribución de probabilidad\(P\), entonces\(ρ\) juega el papel de\(P\) en el caso cuántico:

\[ \begin{align} \langle A \rangle &= \int A P ( A ) d A \label{4.2} \\[4pt] &= \langle \psi | A | \psi \rangle = \operatorname {Tr} [ A \rho ] \label{4.3} \end{align}\]

donde\(Tr[…]\) se refiere al trazado sobre los elementos diagonales de la matriz,

\[T r [ \cdots ] = \sum _ {a} \langle a | \cdots | a \rangle.\]

La última expresión se obtiene de la siguiente manera. Si la función de onda para el sistema se expande como

\[| \psi (t) \rangle = \sum _ {n} c _ {n} (t) | n \rangle \label{4.4}\]

el valor de expectativa de un operador es

\[\langle \hat {A} (t) \rangle = \sum _ {n , m} c _ {n} (t) c _ {m} ^{*} (t) \langle m | \hat {A} | n \rangle \label{4.5}\]

Además, a partir de la Ecuación\ ref {4.1} obtenemos los elementos de la matriz de densidad como

\[\left.\begin{aligned} \rho (t) & {= \sum _ {n , m} c _ {n} (t) c _ {m} ^{*} (t) | n \rangle \langle m |} \\[4pt] & {\equiv \sum _ {n = m} \rho _ {n m} (t) | n \rangle \langle m |} \end{aligned} \right. \label{4.6}\]

Vemos que\(\rho_{nm}\), los elementos de la matriz de densidad, están conformados por los coeficientes de expansión que evolucionan en el tiempo. Sustituyendo en la ecuación\ ref {4.5} vemos que

\[\left.\begin{aligned} \langle \hat {A} (t) \rangle & = \sum _ {n , m} A _ {m n} \rho _ {m n} (t) \\[4pt] & = \operatorname {Tr} [ \hat {A} \rho (t) ] \end{aligned} \right. \label{4.7}\]

En la práctica esto hace que evaluar los valores de expectativa sea tan simple como trazar sobre un producto de matrices.

¿Qué información hay en los elementos de la matriz de densidad,\(\rho_{nm}\)? Los elementos diagonales (\(n = m\)) dan la probabilidad de ocupar un estado cuántico:

\[\rho _ {n n} = c _ {n} c _ {n} ^{*} = p _ {n} \geq 0 \label{4.8}\]

Por esta razón, los elementos diagonales son referidos como poblaciones. Los elementos fuera de la diagonal (\(n \neq m\)) son complejos y tienen un factor de fase dependiente del tiempo

\[ \rho _ {n m} = c _ {n} (t) c _ {m} ^{*} (t) = c _ {n} c _ {m} ^{*} \mathrm {e} ^{- i \omega _ {mn} t} \label{4.9}\]

Dado que estos describen el comportamiento oscilatorio coherente de las superposiciones coherentes en el sistema, estas se denominan coherencias.

Entonces, ¿por qué necesitaríamos la matriz de densidad? Se convierte en una herramienta particularmente importante a la hora de tratar con estados mixtos, que retomamos más adelante. Los estados mixtos se refieren a mezclas estadísticas en las que tenemos información imperfecta sobre el sistema, para lo cual debo realizar promedios estadísticos para describir observables cuánticos. Para estados mixtos, los cálculos con la matriz de densidad se simplifican enormemente. Dado que se tiene una mezcla estadística, y se puede describir\(p_k\), la probabilidad de ocupar el estado cuántico\(| \psi _ {k} \rangle\), la evaluación de los valores de expectativa se simplifica con una matriz de densidad:

\[\langle \hat {A} (t) \rangle = \sum _ {k} p _ {k} \left\langle \psi _ {k} (t) | \hat {A} | \psi _ {k} (t) \right\rangle \label{4.10}\]

\[\rho (t) \equiv \sum _ {k} p _ {k} | \psi _ {k} (t) \rangle \langle \psi _ {k} (t) | \label{4.11}\]

\[\langle \hat {A} (t) \rangle = \operatorname {Tr} [ \hat {A} \rho (t) ] \label{4.12}\]

Evaluar el valor de expectativa es lo mismo para estados puros o mixtos.

Propiedades de la Matriz de Densidad

Ahora podemos resumir algunas propiedades de la matriz de densidad, que se derivan de las definiciones anteriores:

1. \(\rho\)es hermitiano desde\(\rho _ {n m} ^{*} = \rho _ {m n}\)
2. Dado que la probabilidad debe normalizarse,\(\operatorname {Tr} ( \rho ) = 1\)
3. Podemos determinar el grado de “pureza” de un estado cuántico a partir de\[\operatorname {Tr} \left( \rho ^{2} \right) \left\{\begin{array} {l} {= 1 \text { for pure state}} \\[4pt] {< 1 \text { for mixed state}} \end{array} \right.\]

Además, cuando se trabaja con la matriz de densidad es conveniente tomar nota de estas propiedades de traza:

1. La traza sobre un producto de matrices es invariante a permutación cíclica de las matrices:\[\operatorname {Tr} ( A B C ) = \operatorname {Tr} ( C A B ) = \operatorname {Tr} ( B C A )\]
2. A partir de este resultado vemos que la traza es invariante a la transformación unitaria:\[\operatorname {Tr} \left( S ^{\dagger} A S \right) = \operatorname {Tr} \left( S ^{- 1} A S \right) = \operatorname {Tr} ( A )\]