Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.2: Evolución temporal de la matriz de densidad

  • Page ID
    73789
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    La ecuación de movimiento para la matriz de densidad se deriva naturalmente de la definición\(\rho\) y la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

    \[ \begin{align} \dfrac {\partial \rho} {\partial t} &= \dfrac {\partial} {\partial t} [ | \psi \rangle \langle \psi | ] \\[4pt] &= \left[ \dfrac {\partial} {\partial t} | \psi \rangle \right] \langle \psi | + | \psi \rangle \dfrac {\partial} {\partial t} \langle \psi | \\[4pt] &= \dfrac {- i} {\hbar} H | \psi \rangle \langle \psi | + \dfrac {i} {\hbar} | \psi \rangle \langle \psi | H . \label{4.13} \\[4pt] &= \dfrac {- i} {\hbar} [ H , \rho ] \label{4.14} \end{align}\]

    La ecuación\ ref {4.14} es la ecuación de Liouville-Von Neumann. Es isomórfico a la ecuación de movimiento de Heisenberg, ya que también\(ρ\) es un operador. La solución a la Ecuación\ ref {4.14} es

    \[\rho (t) = U \rho ( 0 ) U^{\dagger} \label{4.15}\]

    Esto se puede demostrar integrando primero la Ecuación\ ref {4.14} para obtener

    \[\rho (t) = \rho ( 0 ) - \dfrac {i} {\hbar} \int _ {0}^{t} d \tau [ H ( \tau ) , \rho ( \tau ) ] \label{4.16}\]

    Si expandimos la Ecuación\ ref {4.16} sustituyendo iterativamente en sí misma, la expresión es la misma que cuando sustituimos

    \[U = \exp _ {+} \left[ - \dfrac {i} {\hbar} \int _ {0}^{t} d \tau H ( \tau ) \right] \label{4.17}\]

    en Ecuación\ ref {4.15} y recoger términos por órdenes de\(H(\tau)\).

    Tenga en cuenta que la ecuación\ ref {4.15} y la invarianza cíclica de la traza implican que el valor de expectativa dependiente del tiempo de un operador puede calcularse propagando el operador (Heisenberg) o la matriz de densidad (Schrödinger o imagen de interacción):

    \[\left.\begin{aligned} \langle \hat {A} (t) \rangle & = \operatorname {Tr} [ \hat {A} \rho (t) ] \\[4pt] & = \operatorname {Tr} \left[ \hat {A} U \rho _ {0} U^{\dagger} \right] \\[4pt] & = \operatorname {Tr} \left[ \hat {A} (t) \rho _ {0} \right] \end{aligned} \right. \label{4.18}\]

    Para un hamiltoniano independiente del tiempo es sencillo demostrar que los elementos de la matriz de densidad evolucionan como

    \[ \begin{align} \rho _ {n m} (t) &= \langle n | \rho (t) | m \rangle \\[4pt] &= \left\langle n | U | \psi _ {0} \right\rangle \left\langle \psi _ {0} \left| U^{\dagger} \right| m \right\rangle \label{4.19} \\[4pt] &= e^{- i \omega _ {n m} \left( t - t _ {0} \right)} \rho _ {n m} \left( t _ {0} \right) \label{4.20} \end{align}\]

    De esto vemos que las poblaciones,\(\rho _ {m n} (t) = \rho _ {n m} \left( t _ {0} \right)\), son invariantes en el tiempo, y las coherencias oscilan en la división de energía\(\omega _ {n m}\).


    This page titled 5.2: Evolución temporal de la matriz de densidad is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Andrei Tokmakoff via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.