7.4: Relajación y ampliación de línea

Describamos la absorción a un estado que está acoplado a un continuo. ¿Qué pasa con la probabilidad de absorción si el estado excitado decae exponencialmente?

Podemos comenzar con la expresión de primer orden

\[\frac {\partial} {\partial t} b _ {k} = - \frac {i} {\hbar} e^{i \omega _ {k l} t} V _ {k \ell} (t) \label{6.56}\]

donde hacemos la aproximación\(b _ {\ell} (t) \approx 1\). Podemos agregar relajación irreversible a la descripción del\(b_k\) uso de nuestra expresión anterior para la relajación de

\[b _ {k} (t) = \exp \left[ - \overline {w} _ {n k} t / 2 - i \Delta E _ {k} t / \hbar \right].\]

En este caso, vamos a descuidar la corrección a la energía\(\Delta E _ {k} = 0\), por lo que

\[\frac {\partial} {\partial t} b _ {k} = - \frac {i} {\hbar} e^{i \omega _ {\mu l} t} V _ {k \ell} (t) - \frac {\overline {w} _ {n k}} {2} b _ {k} \label{6.57}\]

O usando\(V (t) = - i E _ {0} \overline {\mu} _ {k l} \sin \omega t\)

\[\begin{align} \frac {\partial} {\partial t} b _ {k} & = \frac {- i} {\hbar} e^{i \omega _ {k t} t} \sin \omega t V _ {k \ell} - \frac {\overline {w} _ {n k}} {2} b _ {k} (t) \\[4pt] & = \frac {E _ {0} \omega _ {k \ell}} {2 i \hbar \omega} \left[ e^{i \left( \omega _ {k \ell} + \omega \right)} - e^{i \left( \omega _ {k \ell} - \omega \right) t} \right] \overline {\mu} _ {k \ell} - \frac {\overline {w} _ {n k}} {2} b _ {k} (t) \label{6.58} \end{align}\]

La solución a la ecuación diferencial

\[\dot {y} + a y = b e^{i \alpha t} \label{6.59}\]

es

\[y (t) = A e^{- a t} + \frac {b e^{i \alpha t}} {a + i \alpha} \label{6.60}\]

con

\[b _ {k} (t) = A e^{- \overline {w} _ {n k} t / 2} + \frac {E _ {0} \overline {\mu} _ {k \ell}} {2 i \hbar} \left[ \frac {e^{i \left( \omega _ {k t} + \omega \right) t}} {\overline {w} _ {n k} / 2 + i \left( \omega _ {k \ell} + \omega \right)} - \frac {e^{i \left( \omega _ {k l} - \omega \right) t}} {\overline {w} _ {n k} / 2 + i \left( \omega _ {k \ell} - \omega \right)} \right] \label{6.61}\]

Veamos solo la absorción, en el límite de tiempo largo:

\[b _ {k} (t) = \frac {E _ {0} \overline {\mu} _ {k \ell}} {2 \hbar} \left[ \frac {e^{i \left( \omega _ {k l} - \omega \right) t}} {\omega _ {k \ell} - \omega - i \overline {w} _ {n k} / 2} \right] \label{6.62}\]

Para lo cual la probabilidad de transición a\(k\) es

\[P _ {k} = \left| b _ {k} \right|^{2} = \frac {E _ {0}^{2} \left| \mu _ {k \ell} \right|^{2}} {4 \hbar^{2}} \frac {1} {\left( \omega _ {k \ell} - \omega \right)^{2} + \overline {w} _ {n k}^{2} / 4} \label{6.63}\]

La dependencia de frecuencia de la probabilidad de transición tiene una forma lorentziana:

El ancho de línea FWHM da la tasa de relajación desde\(k\) el continuo\(n\). También el ancho de línea está relacionado con el sistema más que con la manera en que introdujimos la perturbación. El ancho de línea o forma de línea es una característica adicional que interpretamos en nuestros espectros, y comúnmente se origina en la relajación irreversible u otros procesos que destruyen la coherencia establecida primero por el campo de luz.