7.6: Apéndice - Revisión de Campo Electromagnético Libre

Aquí revisamos la derivación del potencial vectorial para la onda plana en el espacio libre. Comenzamos con las ecuaciones de Maxwell (SI):

\[\begin{align} \overline {\nabla} \cdot \overline {B} &= 0 \label{6.78} \\[4pt] \overline {\nabla} \cdot \overline {E} &= \rho / \varepsilon _ {0} \label{6.79} \\[4pt] \overline {\nabla} \times \overline {E} &= - \dfrac {\partial \overline {B}} {\partial t} \label{6.80} \\[4pt] \overline {\nabla} \times \overline {B} &= \mu _ {0} \overline {J} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial \overline {E}} {\partial t} \label{6.81} \end{align}\]

Aquí las variables son:\(\overline {E}\), campo eléctrico;\(\overline {B}\), campo magnético;\(\overline {J}\), densidad de corriente;\(\rho\), densidad de carga;\(\mathcal {E} _ {0}\), permitividad eléctrica;\(\mu _ {0}\), permitividad magnética. Nos interesa describir\(\overline {E}\) y\(\overline {B}\) en términos de un vector y potencial escalar,\(\overline {A}\) y\(\varphi\).

A continuación, revisemos algunas propiedades básicas de vectores y escalares. Generalmente, el campo vectorial\(\overline {F}\) asigna un vector a cada punto en el espacio. La divergencia del campo

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {F} = \dfrac {\partial F _ {x}} {\partial x} + \dfrac {\partial F _ {y}} {\partial y} + \dfrac {\partial F _ {z}} {\partial z} \label{6.82}\]

es un escalar. Para un campo escalar\(\phi\), el gradiente

\[\nabla \phi = \dfrac {\partial \phi} {\partial x} \hat {x} + \dfrac {\partial \phi} {\partial y} \hat {y} + \dfrac {\partial \phi} {\partial z} \hat {z} \label{6.83}\]

es un vector para la tasa de cambio en un punto en el espacio. Aquí

\[\hat {x}^{2} + \hat {y}^{2} + \hat {z}^{2} = \hat {r}^{2}\]

son vectores unitarios. Además, el rizo

\[\overline {\nabla} \times \overline {F} = \left| \begin{array} {l l l} {\hat {x}} & {\hat {y}} & {\hat {z}} \\ {\dfrac {\partial} {\partial x}} & {\dfrac {\partial} {\partial y}} & {\dfrac {\partial} {\partial z}} \\ {F _ {x}} & {F _ {y}} & {F _ {z}} \end{array} \right|\]

es un vector cuyo\(x\),\(y\), y\(z\) componentes son la circulación del campo alrededor de ese componente. Algunas identidades útiles del cálculo vectorial que usaremos son

\[\begin{align} \overline {\nabla} \cdot ( \overline {\nabla} \times \overline {F} ) &= 0 \label{6.85} \\[4pt] \nabla \times ( \nabla \phi ) &= 0 \label{6.86} \\[4pt] \nabla \times ( \overline {\nabla} \times \overline {F} ) &= \overline {\nabla} ( \overline {\nabla} \cdot \overline {F} ) - \overline {\nabla}^{2} \overline {F} \label{6.87} \end{align}\]

Transformaciones de calibre

Ahora introducimos un potencial vectorial\(\overline {A} ( \overline {r} , t )\) y un potencial escalar\(\varphi ( \overline {r} , t )\), con los que nos relacionaremos\(\overline {E}\) y\(\overline {B}\). Desde

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {B} = 0\]

y

\[\overline {\nabla} ( \overline {\nabla} \times \overline {A} ) = 0,\]

podemos relacionar inmediatamente el potencial vectorial y el campo magnético

\[\overline {B} = \overline {\nabla} \times \overline {A} \label{6.88}\]

Insertando esto en la Ecuación\ ref {6.80} y reescribiendo, podemos relacionar el campo eléctrico y el potencial vectorial:

\[\overline {\nabla} \times \left[ \overline {E} + \dfrac {\partial \overline {A}} {\partial t} \right] = 0 \label{6.89}\]

Comparar ecuaciones\ ref {6.89} y\ ref {6.86} nos permite afirmar que existe un producto escalar con

\[\overline {E} = \dfrac {\partial \overline {A}} {\partial t} - \nabla \varphi \label{6.90}\]

Así que resumiendo nuestros resultados, vemos que los potenciales\(\overline {A}\) y\(\varphi\) determinan los campos\(\overline {B}\) y\(\overline {E}\):

\[\begin{align} \overline {B} ( \overline {r} , t ) &= \overline {\nabla} \times \overline {A} ( \overline {r} , t ) \label{6.91} \\[4pt] \overline {E} ( \overline {r} , t ) &= - \overline {\nabla} \varphi ( \overline {r} , t ) - \dfrac {\partial} {\partial t} \overline {A} ( \overline {r} , t ) \label{6.92} \end{align}\]

Nos interesa determinar la ecuación de onda clásica para\(\overline {A}\) y\(\varphi\). Usando la Ecuación\ ref {6.91}, diferenciando la Ecuación\ ref {6.92}, y sustituyendo en la Ecuación\ ref {6.81}, obtenemos

\[\overline {\nabla} \times ( \overline {\nabla} \times \overline {A} ) + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \left( \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} + \overline {\nabla} \dfrac {\partial \varphi} {\partial t} \right) = \mu _ {0} \overline {J} \label{6.93}\]

Usando la ecuación\ ref {6.87},

\[\left[ - \overline {\nabla}^{2} \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} \right] + \overline {\nabla} \left( \overline {\nabla} \cdot \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial \varphi} {\partial t} \right) = \overline {\mu} _ {0} \overline {J} \label{6.94}\]

De la ecuación\ ref {6.90}, tenemos

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {E} = - \dfrac {\partial \overline {\nabla} \cdot \overline {A}} {\partial t} - \overline {\nabla}^{2} \varphi \label{6.95}\]

y usando la ecuación\ ref {6.79},

\[\dfrac {- \partial \overline {V} \cdot \overline {A}} {\partial t} - \overline {\nabla}^{2} \varphi = \rho / \varepsilon _ {0} \label{6.96}\]

Observe de Ecuaciones\ ref {6.91} y\ ref {6.92} que solo necesitamos especificar cuatro componentes de campo (\(A_{x}, A_{y}, A_{z}, \varphi\)para determinar los seis\(\bar{E}\) y\(\bar{B}\) componentes. Pero\(\bar{E}\) y\(\bar{B}\) no determinar de manera única\(\bar{A}\) y\(\varphi\). Así podemos construir\(\bar{A}\) y\(\varphi\) en cualquier número de formas sin cambiar\(\bar{E}\) y\(\bar{B}\). Observe que si cambiamos\(\bar{A}\) agregando\(\bar{\nabla} \chi \) donde\(\chi\) es alguna función de\(\bar{r}\) y\(t\) esto no va a cambiar\(\bar{B} \quad(\nabla \times(\nabla \cdot B)=0)\). Cambiará\(E\) por\(\left(-\frac{\partial}{\partial t} \bar{\nabla} \chi\right)\), pero podemos cambiar\(\varphi\) a\(\varphi^{\prime}=\varphi-(\partial \chi / \partial t)\). Entonces\(\bar{E}\) y ambos\(\bar{B}\) quedarán sin cambios. Esta propiedad de cambiar la representación (calibre) sin cambiar\(\bar{E}\) y\(\bar{B}\) es la invarianza del calibre. Podemos definir una transformación de calibre con

\[\bar{A}^{\prime}(\bar{r}, t)=\bar{A}(\bar{r}, t)+\bar{\nabla} \cdot \chi(\bar{r}, t) \label{6.97}\]

\[\varphi^{\prime}(\bar{r}, t)=\varphi(\bar{r}, t)-\frac{\partial}{\partial t} \chi(\bar{r}, t) \label{6.98}\]

Hasta este punto,\(A^{\prime} \text {and} \varphi^{\prime}\) son indeterminados. Vamos a elegir un\(\chi\) tal que:

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial \varphi} {\partial t} = 0 \label{6.99}\]

que se conoce como la condición de Lorentz. Luego de la Ecuación\ ref {6.93}:

\[- \nabla^{2} \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} = \mu _ {0} \overline {J} \label{6.100}\]

El lado derecho de esta ecuación se puede establecer en cero cuando no hay corrientes presentes. De la Ecuación\ ref {6.96}, tenemos:

\[\varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \varphi} {\partial t^{2}} - \nabla^{2} \varphi = \dfrac {\rho} {\varepsilon _ {0}} \label{6.101}\]

Las ecuaciones\ ref {6.100} y\ ref {6.101} son ecuaciones de onda para\(\overline {A}\) y\(\varphi\). Dentro del calibre Lorentz, todavía podemos agregar arbitrariamente otro\(\chi\); solo debe satisfacer la Ecuación\ ref {6.99}. Si sustituimos Ecuaciones\ ref {6.97} y\ ref {6.98} en Ecuación\ ref {6.101}, vemos

\[\nabla^{2} \chi - \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \chi} {\partial t^{2}} = 0 \label{6.102}\]

Así podemos hacer más elecciones/restricciones\(\bar{A} \text {and} \varphi\) siempre y cuando obedezca a la Ecuación\ ref {6.102}. Ahora elegimos\(\varphi=0\), el calibre Coulomb, y de la Ecuación\ ref {6.99} vemos

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {A} = 0 \label{6.103}\]

Entonces, la ecuación de onda para nuestro potencial vectorial cuando el campo es corrientes lejanas (\(J= 0\)) es

\[- \overline {\nabla}^{2} \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} = 0 \label{6.104}\]

Las soluciones a esta ecuación son las ondas planas:

\[\overline {A} = \overline {A} _ {0} \sin ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) \label{6.105}\]

donde\(\alpha\) es una fase. \(k\)es el vector de onda que apunta a lo largo de la dirección de propagación y tiene una magnitud

\[k^{2} = \omega^{2} \mu _ {0} \varepsilon _ {0} = \omega^{2} / c^{2} \label{6.106}\]

Desde\(\overline {\nabla} \cdot \overline {A} = 0\) (Ecuación\ ref {6.103}), entonces

\[- \overline {k} \cdot \overline {A} _ {0} \cos ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) = 0\]

y

\[\overline {k} \cdot \overline {A} _ {0} = 0 \label{6.107}\]

Entonces la dirección del potencial vectorial es perpendicular a la dirección de propagación de onda (\(\overline {k} \perp \overline {A _ {0}}\)). De Ecuaciones\ ref {6.91} y\ ref {6.92}, vemos que para\(\varphi = 0\):

\[\begin{align} \overline {E} &= - \dfrac {\partial \overline {A}} {\partial t} \\[4pt] &= - \omega \overline {A} _ {0} \cos ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) \label{6.108} \\[4pt] \overline {B} &= \overline {\nabla} \times \overline {A} \\[4pt] &= - \left( \overline {k} \times \overline {A} _ {0} \right) \cos ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) \label{6.109} \end{align}\]

Aquí el campo eléctrico es paralelo al potencial vectorial, y el campo magnético es perpendicular al campo eléctrico y a la dirección de propagación (\(\overline {k} \perp \overline {E} \perp \overline {B}\)). El vector Poynting que describe la dirección de propagación de la energía es

\[\overline {S} = \varepsilon _ {0} c^{2} ( \overline {E} \times \overline {B} )\]

y su valor promedio, la intensidad, es

\[I = \langle S \rangle = \dfrac {1} {2} \varepsilon _ {0} c E _ {0}^{2}.\]