1.3: Ecuaciones de Fokker-Planck

Ecuaciones y difusión de Fokker-Planck

Ya hemos generalizado las ecuaciones que rigen los procesos de Markov para dar cuenta de sistemas que evolucionan continuamente en el tiempo, lo que resultó en las ecuaciones maestras. En esta sección, adaptamos estas ecuaciones más a fin de que puedan ser adecuadas para la descripción de sistemas con un continuo de estados, en lugar de un número discreto y contable de estados.

Motivación y Derivación

Considera una vez más la celosía unidimensional infinita, con espaciado de celosía\(\Delta x\) y tamaño de paso de tiempo\(\Delta t\). En la sección anterior, anotamos la ecuación maestra (sitios discretos, tiempo continuo) para este sistema, pero aquí comenzaremos con la expresión en cadena de Markov (sitios discretos, tiempo discreto) para el sistema,

\[P(n, s+1)=\frac{1}{2}(P(n+1, s)+P(n-1, s))\]

En términos de\(\Delta x\) y\(\Delta t\), esta ecuación es

\[P(x, t+\Delta t)=\frac{1}{2}[P(x+\Delta x, t)+P(x-\Delta x, t)]\]

Reorganizar la ecuación anterior como una diferencia finita, como en

\[\frac{P(x, t+\Delta t)-P(x, t)}{\Delta t}=\frac{(\Delta x)^{2}}{2 \Delta t} \cdot \frac{P(x+\Delta x, t)+P(x-\Delta x, t)-2 P(x, t)}{(\Delta x)^{2}}\]

y tomando los límites\(\Delta x \rightarrow 0, \Delta t \rightarrow 0\), llegamos a la siguiente ecuación diferencial:

\[\frac{\partial}{\partial t} P(x, t)=D \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} P(x, t)\]

donde\(D=\frac{(\Delta x)^{2}}{2 \Delta t}\). Esta ecuación diferencial se denomina ecuación de difusión con constante de difusión\(D\), y es un caso especial de la ecuación de Fokker-Planck, que introduciremos en breve. La ruta más directa hacia la solución de la ecuación de difusión es a través de la transformación espacial de Fourier,

\[\tilde{P}(k, t)=\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) e^{i k x} d x\]

En el espacio de Fourier, la ecuación de difusión dice

\[\frac{\partial}{\partial t} \tilde{P}(k, t)=-D k^{2} \tilde{P}(k, t)\]

y su solución es

\[\tilde{P}(k, t)=\tilde{P}(k, 0) e^{-D k^{2} t}\]

Si tomamos una función delta\(P(x, 0)=\delta\left(x-x_{0}\right)\) centrada en\(x_{0}\) como condición inicial, la solución en el\(x\) espacio es

\[P(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{4 D t}}\]

Así, la distribución de probabilidad es un gaussiano en\(x\) que se propaga con el tiempo. Observe que esta solución es esencialmente la misma que la solución a largo plazo a la versión espacialmente discretizada del problema presentada en el ejemplo anterior.

Ahora estamos en condiciones de considerar una generalización de la ecuación de difusión conocida como la ecuación de Fokker-Planck. Además del término de difusión\(D \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\), se introduce un término lineal en la primera derivada con respecto a\(x\), que da cuenta de la deriva del centro de la distribución gaussiana a lo largo del tiempo.

Considerar un proceso de difusión en una superficie tridimensional de energía potencial\(U(\mathbf{r})\). La conservación de la probabilidad requiere que

\[\dot{P}(\mathbf{r}, t)=-\nabla \cdot \mathbf{J}\]

donde\(\mathbf{J}\) está la corriente de probabilidad\(\mathbf{J}=-D \nabla P+\mathbf{J}_{U}\),, y\(\mathbf{J}_{U}\) es la corriente debida al potencial\(U(\mathbf{r})\). En equilibrio, sabemos que la corriente de probabilidad\(\mathbf{J}=0\) y que la distribución de probabilidad deben ser ponderadas por Boltzmann de acuerdo con la energía,\(P_{\mathrm{eq}}(\mathbf{r}) \propto e^{-\beta U(\mathbf{r})}\). Por lo tanto, en equilibrio,

\[-D \beta \nabla U(\mathbf{r}) P(\mathbf{r})_{\mathrm{eq}}+\mathbf{J}_{U}=0\]

Resolver la ecuación (1.36) para\(\mathbf{J}_{U}\) y conectar el resultado en la ecuación (1.35) produce la ecuación de Fokker-Planck,

\[\dot{P}(\mathbf{r}, t)=D \nabla[\nabla P(\mathbf{r}, t)+\beta \nabla U(\mathbf{r}) P(\mathbf{r}, t)]\]

Propiedades de Ecuaciones de Fokker-Planck

Volvamos a una dimensión para discutir algunas características sobresalientes de la ecuación de Fokker-Planck.

• Primero, la ecuación de Fokker-Planck da los resultados esperados en el límite de largo plazo:

\[\lim _{t \rightarrow \infty} P=P_{\text {eq }} \text { with } \dot{P}=0\]

• Además, si definimos la posición promedio\(\bar{x}=\int_{-\infty}^{\infty} x P(x) d x\), entonces se puede usar la forma diferencial de la ecuación de Fokker-Planck para verificar que

\[\dot{\bar{x}}=D \beta\left(-\frac{\partial}{\partial x} \overline{U(x)}\right)\]

Dado que la cantidad entre paréntesis es solo la fuerza promedio\(\bar{F}\), la Ec. \((1.39)\)se puede combinar con la relación de Einstein\(D \beta \zeta=1\) (ver sección 1.4) para justificarlo\(\zeta \bar{v}=\bar{F}\); el significado y significado de esta ecuación, incluyendo la definición de\(\zeta\), se discutirá en la sección 1.4.

• La ecuación de Fokker-Planck es lineal en la primera y segunda derivadas de\(P\) con respecto a\(x\); resulta que cualquier operador espacial que sea una combinación lineal de\(\frac{\partial}{\partial x}, x \frac{\partial}{\partial x}\), y\(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\) definirá un proceso gaussiano cuando se use para describir la evolución temporal de una densidad de probabilidad. Así, tanto la ecuación de difusión como la ecuación más general de Fokker-Planck generalmente siempre describirán un proceso gaussiano. - Una observación final sobre la ecuación de Fokker-Planck es que solo es resoluble analíticamente en un pequeño número de casos especiales. Esta situación se ve exacerbada por el hecho de que no es de forma hermitiana (auto-adjoint). Sin embargo, podemos introducir el cambio de variable\(P=e^{-\frac{\beta U}{2}} \Phi\); en términos de\(\Phi\), la ecuación de Fokker-Planck es hermitiana,

\[\frac{\partial \Phi}{\partial t}=D\left[\nabla^{2} \Phi-U_{\mathrm{eff}} \Phi\right]\]

donde\(U_{\text {eff }}=\frac{(\beta \nabla U)^{2}}{4}-\frac{\beta \nabla^{2} U}{2}\). Esta ecuación transformada de Fokker-Planck ahora tiene la misma forma funcional que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, por lo que todas las técnicas asociadas a su solución también se pueden aplicar a la ecuación (1.40).

Ejemplo: Una de las aplicaciones más simples, pero más útiles, de la ecuación de Fokker-Planck es la descripción del oscilador armónico difusivo, que puede tratarse analíticamente. Aquí resolvemos la ecuación de Fokker-Planck para el oscilador difusivo unidimensional con frecuencia\(\omega\). La ecuación diferencial es

\[\frac{\partial P}{\partial t}=D \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} P+\gamma \frac{\partial}{\partial x}(x P)\]

donde\(\gamma=m \omega^{2} D \beta\). Podemos resolver esta ecuación en dos pasos: primero, resolver para la posición promedio usando la Ec. \((1.39)\),

\[\dot{\bar{x}}=-\gamma \bar{x}\]

Dada la condición inicial habitual de la función delta\(P(x, 0)=\delta\left(x-x_{0}\right)\), la posición promedio viene dada por

\[\bar{x}(t)=x_{0} e^{-\gamma t}\]

Así, la memoria de las condiciones iniciales decae exponencialmente para el oscilador difusivo.

Entonces, dado que la ecuación de Fokker-Planck es lineal en\(P\) y bilineal en\(x\) y\(\frac{\partial}{\partial x}\), la solución completa debe tomar la forma de un gaussiano, así podemos escribir

\[P\left(x_{0}, x, t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha(t)}} \exp \left[-\frac{(x-\bar{x}(t))^{2}}{2 \alpha(t)}\right]\]

donde\(\bar{x}(t)\) es la posición media dependiente del tiempo y\(\alpha(t)\) es la desviación estándar dependiente del tiempo de la distribución. Pero ya lo hemos encontrado\(\bar{x}(t)\), así podemos sustituirlo en la solución,

\[P\left(x_{0}, x, t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha(t)}} \exp \left[-\frac{\left(x-x_{0} e^{-\gamma t}\right)^{2}}{2 \alpha(t)}\right]\]

Finalmente, a partir del conocimiento de que la distribución de equilibrio debe satisfacer la condición estacionaria

\[P_{\mathrm{eq}}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} P\left(x_{0}, x, t\right) P_{\mathrm{eq}}\left(x_{0}\right) d x_{0}\]

podemos determinar que

\[\alpha(t)=\frac{1-e^{-2 \gamma t}}{m \omega^{2} \beta}\]

Así se describe completamente el movimiento del oscilador difusivo.

Los límites de tiempo largo y corto de\(P\left(x_{0}, x, t\right)\) son ambos de interés para nosotros. En tiempos cortos,

\[\lim _{t \rightarrow 0} P\left(x_{0}, x, t\right)=\sqrt{\frac{1}{4 \pi D t}} \exp \left[-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{4 D t}\right]\]

y la evolución de la probabilidad se parece a la de una caminata aleatoria. En el límite de largo tiempo, por otro lado, encontramos la distribución de probabilidad de equilibrio

\[\lim _{t \rightarrow \infty} P\left(x_{0}, x, t\right)=\sqrt{\frac{m \omega^{2} \beta}{2 \pi}} \exp \left[-\frac{1}{2} m \omega^{2} \beta x^{2}\right]\]

que es gaussiano sin desplazamiento medio y con varianza determinada por un parámetro térmico y un parámetro que describe la forma del potencial. Un proceso gaussiano, markoviano que exhibe decaimiento exponencial de la memoria, como este oscilador difusivo, se llama proceso de Ornstein-Uhlenbeck.