6.5: Dependencia de la presión de la energía Gibbs
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La dependencia de presión y temperatura de también\(G\) es fácil de describir. El mejor punto de partida es la definición de\(G\).
\[G = U + pV -TS \label{eq1} \]
Tomando el diferencial total de\(G\) yields
\[dG = dU + pdV – pdV + Vdp – TdS – SdT\]
El diferencial puede simplificarse sustituyendo la primera y segunda declaración de ley combinada por\(dU\) (considerar un proceso reversible y\(pV\) trabajar solamente).
\[dG = \cancel{TdS} \bcancel{– pdV} + \bcancel{pdV} + Vdp – \cancel{TdS} – SdT\]
Cancelación de las hojas\(TdS\) y\(pdV\) términos
\[dG = V\,dp – S\,dT \label{Total1}\]
Esto sugiere que las variables naturales de\(G\) son\(p\) y\(T\). Entonces el diferencial total también se\(dG\) puede expresar
\[ dG = \left( \dfrac{\partial G}{\partial p} \right)_T dp + \left( \dfrac{\partial G}{\partial T} \right)_p dT \label{Total2}\]
Y por inspección de Ecuaciones\ ref {Total1} y\ ref {Total2}, es claro que
\[\left( \dfrac{\partial G}{\partial p} \right)_T = V\]
y
\[ \left( \dfrac{\partial G}{\partial T} \right)_p = -S\]
También es claro que la relación Maxwell on\(G\) viene dada por
\[\left( \dfrac{\partial V}{\partial T} \right)_p = \left( \dfrac{\partial S}{\partial p} \right)_T\]
lo cual es una relación extraordinariamente útil, ¡ya que uno de los términos es expresable enteramente en términos de cantidades mensurables!
\[\left( \dfrac{\partial V}{\partial T} \right)_p = V\alpha\]
La dependencia de la presión\(G\) viene dada por la derivada de presión a temperatura constante
\[\left( \dfrac{\partial G}{\partial p} \right)_T = V \label{Max2}\]
que es simplemente el volumen molar. Para una sustancia bastante incompresible (como un líquido o un sólido) el volumen molar será esencialmente constante en un rango de presión modesto.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Gold under Pressure
La densidad del oro es de 19.32 g/cm 3. Calcular\(\Delta G\) para una muestra de oro de 1.00 g cuando la presión sobre ella se incrementa de 1.00 atm a 2.00 atm.
Solución:
El cambio en la función de Gibbs debido a un cambio isotérmico en la presión se puede expresar como
\[ \Delta G =\int_{p_1}^{p_2} \left( \dfrac{\partial G}{\partial p} \right)_T dp\]
Y como sustituyendo la ecuación\ ref {Max2}, resulta en
\[ \Delta G =\int_{p_1}^{p_2} V dp\]
Suponiendo que el volumen molar es independiente o la presión sobre el rango de presión establecido,\(\Delta G\) se convierte
\[\Delta G = V(p_2-p_1)\]
Entonces, el cambio molar en la función de Gibbs se puede calcular sustituyendo los valores relevantes.
\[ \begin{align} \Delta G & = \left( \dfrac{197.0\, g}{mol} \times \dfrac{1\,}{19.32\,g} \times \dfrac{1\,L}{1000\,cm^3} \right) (2.00 \,atm -1.00 \,atm) \underbrace{ \left(\dfrac{8.315 \,J}{0.08206\, atm\,L}\right)}_{\text{conversion unit}}\\ &= 1.033\,J \end{align}\]
Colaboradores
Patrick E. Fleming (Department of Chemistry and Biochemistry; California State University, East Bay)