1.5: La fórmula Rydberg y el espectro atómico del hidrógeno

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Objetivos de aprendizaje

Describir la teoría de Rydberg para los espectros de hidrógeno.
Interpretar el espectro de hidrógeno en términos de los estados energéticos de los electrones.

En una asombrosa demostración de perspicacia matemática, en 1885 Balmer ideó una fórmula simple para predecir la longitud de onda de cualquiera de las líneas en hidrógeno atómico en lo que ahora conocemos como la serie Balmer. Tres años después, Rydberg generalizó esto para que fuera posible determinar las longitudes de onda de cualquiera de las líneas en el espectro de emisión de hidrógeno. Rydberg sugirió que todos los espectros atómicos formaban familias con este patrón (desconocía el trabajo de Balmer). Resulta que existen familias de espectros siguiendo el patrón de Rydberg, notablemente en los metales alcalinos, sodio, potasio, etc., pero no con la precisión las líneas de átomos de hidrógeno se ajustan a la fórmula de Balmer, y valores bajos de longitudes de onda\(n_2\) pronosticadas que se desvían considerablemente.

La ecuación fenomenológica de Rydberg es la siguiente:

\[ \begin{align} \widetilde{\nu} &= \dfrac{1}{ \lambda} \\[4pt] &=R_H \left( \dfrac{1}{n_1^2} -\dfrac{1}{n_2^2}\right) \label{1.5.1} \end{align} \]

donde\(R_H\) es la constante de Rydberg y es igual a 109,737 cm ^-1 (\(2.18 \times 10^{−18}\, J\))\(n_1\) y y\(n_2\) son enteros (números enteros) con\(n_2 > n_1\).

Para las líneas Balmer,\(n_1 =2\) y\(n_2\) puede ser cualquier número entero entre 3 e infinito. Las diversas combinaciones de números que pueden sustituirse en esta fórmula permiten calcular la longitud de onda de cualquiera de las líneas en el espectro de emisión de hidrógeno; existe una estrecha concordancia entre las longitudes de onda generadas por esta fórmula y las observadas en un espectro real.

Otras series

Los resultados dados por Balmer y Rydberg para el espectro en la región visible de la radiación electromagnética comienzan con\(n_2 = 3\), y\(n_1=2\). ¿Hay una serie diferente con la siguiente fórmula (e.g.,\(n_1=1\))?

\[\dfrac{1}{\lambda} = R_{\textrm H} \left(\dfrac{1}{1^2} - \dfrac{1}{n^2} \right ) \label{1.5.2} \]

Los valores para\(n_2\) y número de onda\(\widetilde{\nu}\) para esta serie serían:

Tabla 1.5.1 : La serie Lyman de líneas de emisión de hidrógeno (\(n_1=1\))
\(n_2\)	2	3	4	5	...
\ (n_2\)” style="text-align:center; vertical-align:middle;” class="lt-chem-13385"> \(\lambda\)(nm)	121	102	97	94	...
\ (n_2\)” style="text-align:center; vertical-align:middle;” class="lt-chem-13385"> \(\widetilde{\nu}\)(cm ^-1)	82,2291	97,530	102,864	105,332	...

¿Sabes en qué región de la radiación electromagnética se encuentran estas líneas? Por supuesto, estas líneas están en la región UV, y no son visibles, pero son detectadas por instrumentos; estas líneas forman una serie de Lyman. Las existencias de la serie Lyman y la serie de Balmer sugieren la existencia de más series. Por ejemplo, la serie con\(n_1 = 3\) y\(n_2 = 4, 5, 6, 7, ...\) se llama serie Paschen.

Otras series

Las líneas espectrales se agrupan en series según\(n_1\) valores. Las líneas se nombran secuencialmente a partir de la longitud de onda más larga/frecuencia más baja de la serie, usando letras griegas dentro de cada serie. Por ejemplo, la línea (\(n_1=1/n_2=2\)) se llama “Lyman-alpha” (Ly-\(\alpha\)), mientras que la línea (\(n_1=3/n_2=7\)) se llama “Paschen-delta” (Pa-\(δ\)). Las primeras seis series tienen nombres específicos:

Serie Lyman con\(n_1 = 1\)
Serie Balmer con\(n_1 = 2\)
Serie Paschen (o serie Bohr) con\(n_1 = 3\)
Serie Brackett con\(n_1 = 4\)
Serie Pfund con\(n_1 = 5\)
Serie Humphreys con\(n_1 = 6\)

Ejemplo 1.5.1 : La serie Lyman

La llamada serie de líneas Lyman en el espectro de emisión de hidrógeno corresponde a transiciones de varios estados excitados a la órbita n = 1. Calcular la longitud de onda de la línea de menor energía en la serie Lyman a tres cifras significativas. ¿En qué región del espectro electromagnético se produce?

Dado: órbita de menor energía en la serie Lyman

Preguntado por: longitud de onda de la línea Lyman de menor energía y región correspondiente del espectro

Estrategia:

Sustituir los valores apropiados en Ecuación\(\ref{1.5.1}\) (la ecuación de Rydberg) y resolver para\(\lambda\).
Localizar la región del espectro electromagnético correspondiente a la longitud de onda calculada.

Solución:

Podemos usar la ecuación de Rydberg (Ecuación\ ref {1.5.1}) para calcular la longitud de onda:

\[ \dfrac{1}{\lambda }=R_H \left ( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^{2}}\right ) \nonumber \]

A Para la serie Lyman,\(n_1 = 1\).

\[ \begin{align*} \dfrac{1}{\lambda } &=R_H \left ( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^{2}}\right ) \\[4pt] &=1.097 \times 10^{7}\, m^{-1}\left ( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4} \right )\\[4pt] &= 8.228 \times 10^{6}\; m^{-1} \end{align*} \nonumber \]

Los espectroscopistas suelen hablar de energía y frecuencia como equivalentes. La unidad cm ^-1 (números de onda) es particularmente conveniente. Podemos convertir la respuesta en la parte A a cm ^-1.

\[ \begin{align*} \widetilde{\nu} &=\dfrac{1}{\lambda } \\[4pt] &= 8.228\times 10^{6}\cancel{m^{-1}}\left (\dfrac{\cancel{m}}{100\;cm} \right ) \\[4pt] &= 82,280\: cm^{-1} \end{align*} \nonumber \]

\[\lambda = 1.215 \times 10^{−7}\; m = 122\; nm \nonumber \]

Esta línea de emisión se llama Lyman alfa y es la línea de emisión atómica más fuerte del sol e impulsa la química de la atmósfera superior de todos los planetas produciendo iones al separar electrones de átomos y moléculas. Es completamente absorbido por el oxígeno en la estratosfera superior, disociando las moléculas de O ₂ a átomos de O que reaccionan con otras moléculas de O ₂ para formar ozono estratosférico

B Esta longitud de onda se encuentra en la región ultravioleta del espectro.

Ejercicio 1.5.1 : La serie Pfund

La serie Pfund de líneas en el espectro de emisión de hidrógeno corresponde a transiciones de estados más excitados a los\(n_1 = 5\). Calcular la longitud de onda de la segunda línea en la serie Pfund a tres cifras significativas. ¿En qué región del espectro se encuentra?

Responder: \(4.65 \times 10^3\, nm\); infrarrojos

La discusión anterior presenta solo una descripción fenomenológica de las líneas de emisión de hidrógeno y no logra proporcionar una sonda de la naturaleza del átomo mismo. Claramente no es aplicable un modelo continuo basado en la mecánica clásica, y como demuestra la siguiente Sección, se puede formular una conexión simple entre los espectros y la estructura atómica.

Colaboradores y Atribuciones

Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)
Chung (Peter) Chieh (Chemistry, University of Waterloo)