1.6: La materia tiene propiedades onduladas
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- Introducir la dualidad onda-partícula de la luz se extiende a la materia
- Describir cómo la materia (por ejemplo, electrones y protones) puede exhibir propiedades similares a ondas, por ejemplo, patrones de interferencia y difracción
- Usar álgebra para encontrar la longitud de onda de Broglie o el impulso de una partícula cuando se da una de estas cantidades
El siguiente avance real en la comprensión del átomo vino de un trimestre poco probable: un príncipe estudiante en París. El príncipe Luis de Broglie era miembro de una familia ilustre, prominente en la política y el ejército desde los años 1600. Louis comenzó sus estudios universitarios con historia, pero su hermano mayor Maurice estudió radiografías en su propio laboratorio, y Louis se interesó por la física. Después de la Primera Guerra Mundial, de Broglie centró su atención en los dos grandes logros de Einstein, la teoría de la relatividad especial y la cuantificación de las ondas de luz. Se preguntó si podría haber alguna conexión entre ellos. Quizás el cuántico de radiación realmente debería pensarse como una partícula. De Broglie sugirió que si las ondas (fotones) podían comportarse como partículas, como lo demuestra el efecto fotoeléctrico, entonces lo contrario, es decir, que las partículas podrían comportarse como ondas, debería ser cierto. Asoció una longitud de onda\(\lambda\) a una partícula con impulso\(p\) usando la constante de Planck como la constante de proporcionalidad:
\[\lambda =\dfrac{h}{p} \label{1.6.1} \]
que se llama t él de Broglie longitud de onda. El hecho de que las partículas puedan comportarse como ondas pero también como partículas, dependiendo del experimento que realices sobre ellas, se conoce como la dualidad onda-partícula.
De la discusión sobre el efecto fotoeléctrico, tenemos la primera parte de la dualidad partícula-onda, es decir, que las ondas electromagnéticas pueden comportarse como partículas. Estas partículas se conocen como fotones, y se mueven a la velocidad de la luz. Cualquier partícula que se mueva a o cerca de la velocidad de la luz tiene energía cinética dada por la teoría especial de Einstein de relativamente. En general, una partícula de masa\(m\) e impulso\(p\) tiene una energía
\[E=\sqrt{p^2 c^2+m^2 c^4} \label{1.6.2} \]
Tenga en cuenta que si\(p=0\), esto se reduce a la famosa expresión de energía de descanso\(E=mc^2\). Sin embargo, los fotones son partículas sin masa (técnicamente sin masa inquieta) que siempre tienen un impulso finito\(p\). En este caso, la Ecuación\ ref {1.6.2} se convierte en
\[E=pc. \nonumber \]
De la hipótesis de Planck, un cuántico de radiación electromagnética tiene energía\(E=h\nu\). Así, equiparando estas dos expresiones para la energía cinética de un fotón, tenemos
\[h\nu =\dfrac{hc}{\lambda}=pc \label{1.6.4} \]
Resolver para la longitud de onda\(\lambda\) da Ecuación\ ref {1.6.1}:
\[\lambda=\dfrac{h}{p}= \dfrac{h}{mv} \nonumber \]
donde\(v\) está la velocidad de la partícula. De ahí que de Broglie argumentara que si las partículas pueden comportarse como ondas, entonces una relación como esta, que pertenece particularmente a las ondas, también debería aplicarse a las partículas.
La ecuación\ ref {1.6.1} nos permite asociar una longitud de onda\(\lambda\) a una partícula con impulso\(p\). A s el impulso aumenta, la longitud de onda disminuye. En ambos casos, esto significa que la energía se hace más grande. Es decir, longitudes de onda cortas y momentos altos corresponden a altas energías.
Es una característica común de la mecánica cuántica que las partículas y ondas con longitudes de onda cortas corresponden a altas energías y viceversa.
Habiendo decidido que el fotón bien podría ser una partícula con una masa de reposo, aunque muy pequeña, se dio cuenta en de Broglie que en otros aspectos podría no ser muy diferente de otras partículas, especialmente el electrón muy ligero. En particular, tal vez el electrón también tenía una onda asociada. La objeción obvia era que si el electrón era como onda, ¿por qué no se habían observado efectos de difracción o interferencia? Pero había una respuesta. Si la relación de Broglie entre el impulso y la longitud de onda también se mantenía para los electrones, la longitud de onda era lo suficientemente corta como para que estos efectos fueran fáciles de perder. Como señaló el propio de Broglie, la naturaleza ondulada de la luz no es muy evidente en la vida cotidiana. Como demostrará la siguiente sección, la validez de la propuesta de Broglie fue confirmada por experimentos de difracción electrónica de G.P. Thomson en 1926 y de C. Davisson y L. H. Germer en 1927. En estos experimentos se encontró que los electrones se dispersaban de los átomos en un cristal y que estos electrones dispersos producían un patrón de interferencia. Estos patrones de difracción son característicos del comportamiento de tipo onda y son exhibidos tanto por electrones (es decir, materia) como por radiación electromagnética (es decir, luz).
Calcular la longitud de onda de Broglie para un electrón con una energía cinética de 1000 eV.
Solución
Para calcular la longitud de onda de Broglie (Ecuación\ ref {1.6.1}), se debe establecer el momento de la partícula y requiere conocimiento tanto de la masa como de la velocidad de la partícula. La masa de un electrón es\(9.109383 \times 10^{−28}\; g\) y la velocidad se obtiene de la energía cinética dada de 1000 eV:
\[\begin{align*} KE &= \dfrac{mv^2}{2} \\[4pt] &= \dfrac{p^2}{2m} = 1000 \;eV \end{align*} \nonumber \]
Resuelva para el impulso
\[ p = \sqrt{2 m KE} \nonumber \]
convertir a unidades SI
\[ p = \sqrt{(1000 \; \cancel{eV}) \left( \dfrac{1.6 \times 10^{-19} \; J}{1\; \cancel{ eV}} \right) (2) (9.109383 \times 10^{-31}\; kg)} \nonumber \]
ampliar la definición de julio en unidades SI base y cancelar
\[\begin{align*} p &= \sqrt{(3.1 \times 10^{-16} \;kg \cdot m^2/s^2 ) (9.109383 \times 10^{-31}\; kg)} \\[4pt] &= \sqrt{ 2.9 \times 10^{-40 }\, kg^2 \;m^2/s^2 } \\[4pt] &= 1.7 \times 10^{-23} kg \cdot m/s \end{align*} \nonumber \]
Ahora sustituya el impulso en la ecuación para la longitud de onda de Broglie (Ecuación\(\ref{1.6.1}\)) con la constante de Planck (\(h = 6.626069 \times 10^{−34}\;J \cdot s\)). Después de expandir unidades en la constante de Plank
\[\begin{align*} \lambda &=\dfrac{h}{p} \\[4pt] &= \dfrac{6.626069 \times 10^{−34}\;kg \cdot m^2/s}{1.7 \times 10^{-23} kg \cdot m/s} \\[4pt] &= 3.87 \times 10^{-11}\; m \\[4pt] &=38.9\; pm \end{align*} \nonumber \]
Calcula la longitud de onda de Broglie para una bola rápida lanzada a 100 millas por hora y que pesa 4 onzas. Comentar si las propiedades de ola de las pelotas de béisbol podrían ser observadas experimentalmente.
- Responder
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Siguiendo las conversiones de unidades a continuación, una pelota de béisbol de 4 oz tiene una masa de 0.11 kg. La velocidad de una bola rápida lanzada a 100 millas por hora en m/s es de 44.7 m/s.
\[ m = \left(4 \; \cancel{oz}\right)\left(\frac{0.0283 \; kg}{1 \; \cancel{oz}}\right) = 0.11 kg \nonumber \]
\[ v = \left(\frac{100 \; \cancel{mi}}{\cancel{hr}}\right) \left(\frac{1609.34 \; m}{\cancel{mi}}\right) \left( \frac{1 \; \cancel{hr}}{3600 \; s}\right) = 44.7 \; m/s \nonumber \]
La longitud de onda de Broglie de esta bola rápida es:
\[ \lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626069 \times 10^{-34}\;kg \cdot m^2/s}{(0.11 \; kg)(44.7 \;m/s)} = 1.3 \times 10^{-34} m \nonumber \]
Si un electrón y un protón tienen la misma velocidad, ¿cuál tendría la longitud de onda de Broglie más larga?
- El electrón
- El protón
- Tendrían la misma longitud de onda
- Responder
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La ecuación\ ref {1.6.1} muestra que la longitud de onda de Broglie de la onda de materia de una partícula es inversamente proporcional a su momento (masa por velocidad). Por lo tanto, la partícula de masa más pequeña tendrá un impulso más pequeño y una longitud de onda El electrón es el más ligero y tendrá la longitud de onda más larga.
Esta fue la tesis doctoral del príncipe, presentada en 1924. Su asesor de tesis estaba algo desesperado, y no estaba seguro de si se trataba de un trabajo sólido. Pidió de Broglie una copia extra de la tesis, que envió a Einstein. Einstein escribió poco después: “Creo que es un primer rayo de luz débilmente sobre este peor de nuestros enigmas físicos" y el príncipe obtuvo su doctorado.
Colaboradores y Atribuciones
Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)
Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski