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LibreTexts Español

8.1: Los cálculos atómicos y moleculares se expresan en unidades atómicas

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    Objetivos de aprendizaje
    • Demostrar cómo resolver problemas de estructura electrónica son menos desordenados al cambiar a unidades atómicas en lugar de unidades SI.

    Las unidades atómicas (au o a.u.) forman un sistema de unidades naturales que es especialmente conveniente para los cálculos de física atómica. Las unidades atómicas, como las unidades SI, tienen una unidad de masa, una unidad de longitud, y así sucesivamente. Sin embargo, el uso y la notación es algo diferente del SI. Supongamos que una partícula con una masa de m tiene 3.4 veces la masa de electrón. El valor de la masa se\(m\) puede escribir de tres maneras:

    • \(m=3.4\; m_e\): Esta es la notación más clara (pero menos común), donde la unidad atómica se incluye explícitamente como símbolo.
    • \(m=3.4\; a.u.\): Esta notación es ambigua, pero es común. Aquí, significa que la masa\(m\) es 3.4 veces la unidad atómica de masa. Si se considera una longitud\(L\) de 3.4 veces la unidad atómica de longitud, la ecuación se vería igual,\(L= 3.4 \;a.u.\) La dimensión necesita ser inferida del contexto, que es descuidado.
    • \(m = 3.4\): Esta notación es similar a la anterior, y tiene la misma ambigüedad dimensional. Viene de establecer formalmente las unidades atómicas a 1 (Tabla 8.1.1 ).

    Este artículo trata del “tipo Hartree” de unidades atómicas, donde los valores numéricos de las siguientes cuatro constantes físicas fundamentales son todos unidad por definición:

    Dimensión Nombre Símbolo/Definición Valor en unidades SI Valor en Unidades Atómicas
    Tabla 8.1.1 : Unidades atómicas fundamentales
    masa masa de reposo de electrones \(m_e\) 9.109 × 10 −31 kg 1
    cargar carga elemental \(e\) 1.602 × 10 −19 C 1
    acción constante de Planck uced rojo \(\hbar = \dfrac{h}{2\pi}\) 1.054 × 10 −34 J·s 1
    constante eléctrica −1 Constante de fuerza de culombo \(\displaystyle k_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\) 8.987 x 10 9 kg·m 3 ·s −2 ·C −2 1
    Ejemplo 8.1.1 : Simplificando el hamiltoniano

    Utilice las definiciones de unidades atómicas en la Tabla 8.1.1 para contrastar el hamiltoniano para un átomo de helio en unidades Si y en unidades atómicas.

    Solución

    En unidades SI, el hamiltoniano para un átomo de helio es

    \[ \hat {H} = -\dfrac {\hbar ^2}{2m_e} (\nabla ^2_1 + \nabla ^2_2) -\dfrac {2e^2}{4 \pi \epsilon _0 r_1} - \dfrac {2e^2}{4 \pi \epsilon _0 r_2} + \dfrac {e^2}{4 \pi \epsilon _0 r_{12}} \nonumber \]

    En unidades atómicas, el mismo hamiltoniano

    \[ \hat {H} = -\dfrac {1}{2} (\nabla ^2_1 + \nabla ^2_2) - \dfrac {2}{r_1} - \dfrac {2}{r_2} + \dfrac {1}{r_{12}} \nonumber \]

    Todas las unidades que hacen la versión SI del hamiltoniano desaparecen para enfatizar los aspectos clave del operador.

    Las unidades atómicas se derivan de ciertas propiedades fundamentales del mundo físico, y están libres de consideraciones antropocéntricas. Hay que tener en cuenta que las unidades atómicas fueron diseñadas para cálculos a escala atómica en el universo actual, con unidades normalizan la constante reducida de Planck y además la masa y carga del electrón se establecen en 1, y, como resultado, la velocidad de la luz en unidades atómicas es un valor grande,\(1/\alpha \approx 137\). Por ejemplo, la velocidad orbital de un electrón alrededor de un átomo pequeño es del orden de 1 en unidades atómicas. Tabla 8.1.2 dan algunas unidades derivadas. Algunos de ellos tienen nombres propios y símbolos asignados, como se indica en la tabla.

    Tabla 8.1.2 : Unidades atómicas derivadas
    Dimensión Nombre Símbolo Expresión Valor en unidades SI Valor en unidades más comunes
    longitud bohr \(a_o\) \(4\pi \epsilon_0 \hbar^2 / (m_\mathrm{e} e^2) = \hbar / (m_\mathrm{e} c \alpha) \) 5.291 × 10 −11 m 0.052 nm = 0.529 Å
    energía hartree \(E_h\) \(m_\mathrm{e} e^4/(4\pi\epsilon_0\hbar)^2 = \alpha^2 m_\mathrm{e} c^2 \) 4.359 × 10 −18 J 27.2 eV = 627.5 kcal·mol −1
    tiempo     \(\hbar / E_\mathrm{h}\) 2.418 × 10 −17 s  
    velocidad     \( a_0 E_\mathrm{h} / \hbar = \alpha c\) 2.187 × 10 6 m·s −1  

    Colaboradores y Atribuciones

    • Wikipedia

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