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8.9: Los valores permitidos de J - el número cuántico de momento angular total

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    Objetivos de aprendizaje
    • Compate dos esquemas de acoplamiento espín-órbita que acoplan el momento angular de espín total y el momento angular orbital total de un espectro multi-electrón

    Necesitamos ser capaces de identificar los estados electrónicos que resultan de una configuración electrónica dada y determinar sus energías relativas. Un estado electrónico de un átomo se caracteriza por una energía específica, función de onda (incluyendo espín), configuración electrónica, momento angular total y la forma en que los momentos orbitales y angulares de espín de los diferentes electrones se acoplan entre sí. Hay dos descripciones para el acoplamiento del momento angular. Uno se llama acoplamiento j-j, y el otro se llama acoplamiento L-S. El esquema de acoplamiento j-j se utiliza para elementos pesados (z > 40) y el esquema de acoplamiento L-S para los elementos más ligeros. Solo el acoplamiento L-S se discute a continuación.

    Acoplamiento L-S de Momenta Angular

    El acoplamiento L-S también se llama acoplamiento R-S o Russell-Saunders. En el acoplamiento L-S, los momentos orbitales y angulares de espín de todos los electrones se combinan por separado

    \[L = \sum _i l_i \label{8.11.3} \]

    \[S = \sum _i s_i \label{8.11.4} \]

    El vector de momento angular total es entonces la suma del vector de momento angular orbital total y el vector de momento angular de giro total.

    \[J = L + S \label{8.11.5} \]

    El número cuántico de momento angular total parametriza el momento angular total de una partícula dada, combinando su momento angular orbital y su momento angular intrínseco (es decir, su giro). Debido a la interacción espín-órbita en el átomo, el momento angular orbital ya no conmuta con el hamiltoniano, ni el giro.

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    Figura 8.9.1 : “Conos vectoriales” de momento angular total\(J\) (púrpura), orbital\(L\) (azul) y giro\(S\) (verde). Los conos surgen debido a la incertidumbre cuántica entre la medición de componentes de momento angular (ver modelo vectorial del átomo). (Dominio público; Maschen).

    Sin embargo el momento angular total\(J\) sí conmuta con el hamiltoniano y así es una constante de movimiento (no cambia en el tiempo). Las definiciones relevantes del momento angular son:

    Momento angular orbital

    \[|\vec{L}| = \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)} \nonumber \]

    con su proyección en el eje z\[L_z = m_\ell \hbar \nonumber \]

    Momento angular de giro

    \[ |\vec{S}| = \hbar \sqrt{s(s+1)} \nonumber \]

    con su proyección en el eje z\[ S_z = m_s \hbar \nonumber \]

    Momento Angular Total

    \[ |\vec{J}| = \hbar \sqrt{j(j+1)} \nonumber \]

    con su proyección en el eje z\[ J_z = m_j \hbar \nonumber \]

    donde

    • \(l\)es el número cuántico azimutal de un solo electrón,
    • \(s\)es el número cuántico de espín intrínseco al electrón,
    • \(j\)es el número cuántico de momento angular total del electrón,

    Los números cuánticos toman los valores:

    \[\begin{align} & m_\ell \in \{ -\ell, -(\ell-1) \cdots \ell-1, \ell \} , \quad \ell \in \{ 0,1 \cdots n-1 \} \\& m_s \in \{ -s, -(s-1) \cdots s-1, s \} , \\& m_j \in \{ -j, -(j-1) \cdots j-1, j \} , \\& m_j=m_\ell+m_s, \quad j=|\ell+s|\\\end{align} \nonumber \]

    y las magnitudes son:

    \[\begin{align} & |\textbf{J}| = \hbar\sqrt{j(j+1)} \\& |\textbf{J}_1| = \hbar\sqrt{j_1(j_1+1)} \\& |\textbf{J}_2| = \hbar\sqrt{j_2(j_2+1)} \\\end{align} \nonumber \]

    en el que

    \[ j \in \{ |j_1 - j_2|, |j_1 - j_2| - 1 \cdots j_1 + j_2 - 1, j_1 + j_2 \} \,\! \nonumber \]

    Este proceso puede repetirse para un tercer electrón, luego el cuarto etc. hasta que se haya encontrado el momento angular total.

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    Figura 8.9.2 : Modelo vectorial del momento angular total: espín y acoplamiento orbital (spin-1/2 partículas). (Dominio público; Maschen).

    El resultado de estas sumas vectoriales se especifica en un código que se denomina símbolo de término Russell-Saunders, y cada símbolo de término identifica un nivel de energía del átomo. En consecuencia, los niveles de energía también se denominan términos. Un símbolo de término tiene la forma\(^{2s+1} L_J\) donde la letra de código que se utiliza para el número cuántico de momento angular orbital total L = 0, 1, 2, 3, 4, 5 es S, P, D, F, G, H, respectivamente. Observe cómo este código coincide con el utilizado para los orbitales atómicos. El superíndice\(2S+1\) da la multiplicidad de espín del estado, donde S es el número cuántico de momento angular de giro total. La multiplicidad de giro es el número de estados de giro asociados a un estado electrónico dado. Para no confundir la letra de código S para el momento angular orbital con el número cuántico de giro S, se debe examinar el contexto en el que se usa cuidadosamente. En el término símbolo, el subíndice J da el número cuántico de momento angular total. Debido al acoplamiento espín-órbita, solo\(J\) y\(M_j\) son números cuánticos válidos, pero debido a que el acoplamiento spin-órbita es débil\(L\),\(M_l\),\(S\), y\(m_s\) todavía sirven para identificar y caracterizar los estados para los elementos más ligeros.

    Por ejemplo, el estado base, es decir, el estado de energía más baja, del átomo de hidrógeno corresponde a la configuración electrónica en la que el electrón ocupa el orbital espacial 1s y puede tener espín\(\alpha\) o espín\(\beta\). El término símbolo para el estado base es\(^2 S_{1/2}\), que se lee como “doblete S 1/2”. El número cuántico de espín es 1/2 por lo que el superíndice 2S+1 = 2, lo que da la multiplicidad de espín del estado, es decir, el número de estados de giro es igual a 2 correspondientes a\(\alpha\) y\(\beta\). El S en el término símbolo indica que el número cuántico de momento angular orbital total es 0 (Para el estado base del hidrógeno, solo hay un electrón y está en un s-orbital con\(l = 0\)). El subíndice ½ se refiere al número cuántico de momento angular total. El momento angular total es la suma del espín y los momentos angulares orbitales para los electrones en un átomo. En este caso, el número cuántico de momento angular total es solo el número cuántico de momento angular de giro, ½, ya que el momento angular orbital es cero. El estado base tiene una degeneración de dos debido a que el momento angular total puede tener una proyección del eje z de\(+\frac {1}{2} \hbar\) o\(-\frac {1}{2} \hbar\), correspondiente a\(m_J\) = +1/2 o -1/2 resultante de los dos estados de espín de electrones\(\alpha\) y\(\beta\). También podemos decir, de manera equivalente, que el término estado base o nivel de energía es doblemente degenerado.

    Ejercicio 8.9.1

    Escriba el término símbolo para un estado que tenga 0 tanto para los números cuánticos de giro como de momento angular orbital.

    Ejercicio 8.9.2

    Escriba el símbolo del término para un estado que tenga 0 para el giro y 1 para los números cuánticos de momento angular orbital

    Colaboradores y Atribuciones

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