19.2: Trabajo de presión-volumen

El trabajo en general se define como un producto de una fuerza F y un elemento de trayectoria ds. Ambos son vectores y el trabajo se calcula integrando sobre su producto interno:

\[w = \int \textbf{F} \cdot \textbf{ds} \nonumber \]

Mover un objeto contra la fuerza de fricción como se hizo en el experimento de disipación anterior es solo un ejemplo de trabajo:

\[w_{friction} = \int \textbf{F}_{friction} \cdot \textbf{ds} \nonumber \]

También podríamos pensar en trabajos eléctricos. En ese caso estaríamos moviendo una carga e (por ejemplo, la carga negativa de un electrón) contra un campo eléctrico (vector)\(\textbf{E}\). El trabajo sería:

\[w_{electical} = \int e \textbf{E} \cdot \textbf{ds} \nonumber \]

Otros ejemplos son el estiramiento de una banda de goma contra la fuerza elástica o mover un imán en un campo magnético etc., etc.

Presión-volumen (\(PV\)) work

En el caso de un cilindro con pistón, la presión de las moléculas de gas en el interior del cilindro\(P\), y las moléculas de gas externas al pistón,\(P_{ext}\) ambas ejercen una fuerza una contra la otra. Presión, (\ P\), es la fuerza,\(F\), siendo ejercida por las partículas por área,\(A\):

\[P=\frac{F}{A} \nonumber \]

Figura 19.2.1 : Un pistón con presión interna\(P\) y presión externa\(P_{ext}\).

Podemos suponer que todas las fuerzas generadas por la presión de las partículas operan paralelas a la dirección de movimiento del pistón. Es decir, la fuerza mueve el pistón hacia arriba o hacia abajo ya que el movimiento del pistón se limita a una dirección. El pistón se mueve a medida que las moléculas del gas se equilibran rápidamente a la presión aplicada de tal manera que las presiones interna y externa son las mismas. El resultado de esta moción es el trabajo:

\[w_{volume} = \int \left( \dfrac{F}{A} \right) (A\,ds) = \int P\,dV \nonumber \]

Esta forma particular de trabajo se denomina trabajo presión-volumen (\(PV\)) y jugará un papel importante en el desarrollo de nuestra teoría. Observe sin embargo que el trabajo de volumen es solo una forma de trabajo.

Convenciones de Firmar

Es importante crear una convención de señales en este punto: calor positivo, trabajo positivo siempre es energía que pones en el sistema. Si el sistema decide eliminar energía desprendiendo calor o trabajo, eso obtiene un signo menos.

En otras palabras: pagas la factura.

Para cumplir con esta convención necesitamos reescribir el trabajo de volumen (Ecuación\(\ref{Volume work}\)) como

\[w_{PV} = - \int \left( \dfrac{F}{A} \right) (A\,ds) = - \int P\,dV \nonumber \]

De ahí que para disminuir el volumen del gas (\(\Delta V\)es negativo), debemos poner en trabajo (positivo).

La termodinámica no habría llegado muy lejos sin cilindros para contener gases, en particular vapor. La siguiente figura muestra cuándo la presión externa\(P_{ext}\),, es mayor y menor que la presión interna\(P\),, del pistón.

Figura 19.2.2 : Pistones que muestran una compresión (izquierda) y una expansión (derecha).

Si la presión,\(P_{ext}\), que se ejerce sobre el sistema es constante, entonces la integral se convierte en:

\[w = -P_{ext}\int_{V_{initial}}^{V_{final}}dV = -P\Delta V \label{irreversible PV work} \]

Para un sistema que se somete a trabajo a presión externa constante, podemos mostrar la cantidad de trabajo que se está realizando usando un\(PV\) diagrama.

Figura 19.2.3 : Un sistema se comprime bajo presión externa constante,\(P_{ext}\), del estado 1 al estado 2. El área sombreada muestra la cantidad de trabajo que se está realizando para la compresión. La línea continua es una isoterma, una trayectoria de temperatura constante.

La ecuación\(\ref{irreversible PV work}\) solo se mantiene bajo condiciones isobáricas. Si la presión exterior cambia durante la compresión debemos integrar sobre todas las contribuciones:

\[ w = - \int_{V_{initial}}^{V_{final}}P_{ext}dV \nonumber \]