20.5: La Famosa Ecuación de la Termodinámica Estadística es S=K ln W

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Una interpretación común de la entropía es que de alguna manera es una medida del caos o la aleatoriedad. Hay cierta utilidad en ese concepto. Dado que la entropía es una medida de la dispersión de energía en un sistema, cuanto más caótico sea un sistema, mayor será la dispersión de energía, y así mayor será la entropía. Ludwig Boltzmann (1844 — 1906) (O'Connor & Robertson, 1998) entendió bien este concepto y lo utilizó para derivar un enfoque estadístico para calcular la entropía. Boltzmann propuso un método para calcular la entropía de un sistema basado en el número de formas energéticamente equivalentes en que se puede construir un sistema.

Boltzmann propuso una expresión, que en su forma moderna es:

\[S = k_b \ln(W) \label{Boltz} \]

\(W\)es el número de microestados disponibles en un macroestado (conjunto de sistemas) y puede tomarse como la medida cuantitativa de la dispersión de energía en un macroestado:

\[W=\frac{A!}{\prod_j{a_j}!} \nonumber \]

Dónde\(a_j\) está el número de sistemas en el conjunto que están en estado\(j\) y\(A\) representa el número total de sistemas en el conjunto:

\[A=\sum_j{a_j} \nonumber \]

La ecuación 20.5.1 es una ecuación bastante famosa grabada en el grave marcador de Boltzmann en conmemoración de sus profundas contribuciones a la ciencia de la termodinámica (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Ludwig Boltzmann (1844 - 1906)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Calcular la entropía de un cristal de monóxido de carbono, conteniendo 1.00 mol de\(\ce{CO}\), y asumiendo que las moléculas están orientadas aleatoriamente en una de dos orientaciones equivalentes.

Solución:

Usando la fórmula de Boltzmann (Ecuación\ ref {Boltz}):

\[S = nK \ln (W) \nonumber \]

Y usando\(W = 2\), el cálculo es sencillo.

\[ \begin{align*} S &= \left(1.00 \, mol \cot \dfrac{6.022\times 10^{23}}{1\,mol} \right) (1.38 \times 10^{-23} J/K) \ln 2 \\ &= 5.76\, J/K \end{align*} \nonumber \]

Colaboradores y Atribuciones

Patrick E. Fleming (Department of Chemistry and Biochemistry; California State University, East Bay)
Jerry LaRue (Department of Chemistry and Biochemistry, Chapman University)