23.5: El potencial químico puede evaluarse a partir de una función de partición
- Page ID
- 79637
El potencial químico se puede dar en términos de una función de partición. La energía interna se puede definir como:
\[U=RT^2\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial T}\right)_{n,V} \nonumber \]
Y la entropía se puede definir como:
\[S=RT\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial T}\right)_{n,V} + R\ln Q \nonumber \]
Sabemos que la energía Helmholtz es:
\[A=U-TS \nonumber \]
Usando nuestras dos ecuaciones anteriores, obtenemos:
\[A=-RT\ln Q \nonumber \]
Ahora, cambiemos un poco de rumbo para mostrar cómo la energía de Helmholtz se relaciona con el potencial químico. El diferencial total para la energía de Helmholtz es:
\[dA = \left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{n,V} + \left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)_{n,T} + \left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T} \nonumber \]
Y la ecuación fundamental es:
\[dA = -SdT-PdV+\left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T}dn \nonumber \]
Usando la relación entre la energía Helmholtz y la energía Gibbs:
\[G=A+PV \nonumber \]
Obtenemos:
\[\begin{split}dG &= dA+d(PV) \\ &= -SdT+VdP+\left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T}dn\end{split} \nonumber \]
Sabemos que el cambio en la energía de Gibbs es:
\[\begin{split}dG &= -SdT+VdP+\left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{P,T}dn \\ &= -SdT+VdP+\mu dn \end{split} \nonumber \]
Inspeccionando estas ecuaciones, vemos que:
\[\mu = \left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{P,T} = \left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T} \nonumber \]
Esto nos muestra que, mientras las variables naturales para cada potencial termodinámico se mantienen constantes, las derivadas parciales de la energía de Gibbs y la energía de Helmholtz con respecto al número de moles,\(n\) son iguales al potencial químico. Ahora podemos conectar nuestra expresión anterior para la energía Helmholtz en términos de la función de partición:
\[\mu = -RT\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial n}\right)_{V,T} \nonumber \]
Ahora tenemos potencial químico escrito en términos de la función de partición,\(Q\).