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Química Física y Teórica
Química Física (LibreTexts)
31: Sólidos y Química de Superficie
31.5: El factor de estructura y la densidad electrónica están relacionados por una transformada de Fourier

31.5: El factor de estructura y la densidad electrónica están relacionados por una transformada de Fourier

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Transformada de Fourier

En matemáticas, una transformada de Fourier es una operación que convierte una función real en otra. En el caso de FTIR, se aplica una transformada de Fourier a una función en el dominio del tiempo para convertirla en el dominio de frecuencia. Una forma de pensar sobre esto es dibujar el ejemplo de la música escribiéndola en una hoja de papel. Cada nota se encuentra en un dominio llamado de “hoja”. Estas mismas notas también se pueden expresar tocandolas. El proceso de tocar las notas puede pensarse como convertir las notas del dominio “sheet” al dominio “sound”. Cada nota tocada representa exactamente lo que hay en el papel solo de una manera diferente. Esto es precisamente lo que le está haciendo el proceso de transformada de Fourier a los datos recopilados de difracción de rayos X. Esto se hace con el fin de determinar la densidad de electrones alrededor de los átomos cristalinos en el espacio real. En la sección anterior, tratamos los puntos de celosía como densidades de electrones localizadas individuales. En realidad, la densidad electrónica de una celda unitaria se distribuye sobre un espacio mucho mayor. Se pueden utilizar las siguientes ecuaciones para determinar las posiciones de los electrones:

\[p(x,y,z) = \sum_{h=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{l=-\infty}^{\infty}F(hkl) e ^{-2\pi i (hx/a+ky/b+lz/c)} \label{1} \]

Emplear una transformada de Fourier

\[F(hkl) \propto \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} p(x,y,z) e ^{2\pi i (hx/a+ky/b+lz/c)} dx\;dy\;dz \label{2} \]

\[F(q) = | F(q) | e^{i \phi(q)} \label{3} \]

donde$p(xyz)$ está la función de densidad electrónica, y$F(hkl)$ es la función de densidad electrónica en el espacio real. La ecuación$\ref{2}$ representa la expansión de Fourier de la función de densidad electrónica. Para resolver para$F(hkl)$, la ecuación$\ref{1}$ necesita ser evaluada sobre todos los valores de h, k y l, dando como resultado la ecuación$\ref2$. La función resultante$F(hkl)$ se expresa generalmente como un número complejo (como se ve en la ecuación$\ref{3}$ anterior)$| F(q)|$ representando la magnitud de la función y$\phi$ representando la fase.

El factor de estructura también se puede expresar como

\[ \begin{align} \mathbf{F}_{hkl} &= F_{hkl} e^{i\alpha_{hkl}} = \sum_j f_je^{2\pi i (hx_j + ky_j + lz_j)} = \sum_j f_j\cos[2\pi (hx_j + ky_j + lz_j)] + i\sum_{j} f_j\sin[2\pi (hx_j + ky_j + lz_j)] \\[4pt] &= A_{hkl} + iB_{hkl} \end{align} \nonumber \]

donde la suma está sobre todos los átomos en la celda unitaria, $x j, y j, z j$ son las coordenadas posicionales del $j$ ésimo átomo, $f$ _j es el factor de dispersión del $j$ ésimo átomo, y$α_{hkl}$ es la fase del haz difractado. La intensidad de un haz difractado está directamente relacionada con la amplitud del factor de estructura, pero la fase normalmente debe ser deducida por significa. En la determinación de la estructura, se estiman las fases y se deduce una descripción inicial de las posiciones y desplazamientos anisotrópicos de los átomos dispersantes. A partir de este modelo inicial, se calculan los factores estructurales y se comparan con los observados experimentalmente. Los procedimientos de refinamiento iterativo intentan minimizar la diferencia entre el cálculo y el experimento hasta obtener un ajuste satisfactorio.

La figura$\PageIndex{1}$ muestra un mapa de densidad electrónica de un derivado de quinolina (y una molécula de agua) que se determinó a partir de datos de difracción de rayos X.

Un archivo externo que contiene una imagen, ilustración, etc.El nombre del objeto es jm-2013-011302_0012.jpg — Figura$\PageIndex{1}$: Mapa de densidad electrónica de un derivado de quinolina, junto con la estructura lineal del compuesto. La esfera roja en la parte inferior del mapa de densidad es el oxígeno de una molécula de agua que está estrechamente asociada con el átomo de N de la quinolina. (mapa de densidad electrónica cortesía de J Med Chem. 2013 Oct 24; 56 (20): 8073—8088. © 2013 Sociedad Americana de Química, CC-BY)

quinolina derivative.png — Figura$\PageIndex{1}$: Mapa de densidad electrónica de un derivado de quinolina, junto con la estructura lineal del compuesto. La esfera roja en la parte inferior del mapa de densidad es el oxígeno de una molécula de agua que está estrechamente asociada con el átomo de N de la quinolina. (mapa de densidad electrónica cortesía de J Med Chem. 2013 Oct 24; 56 (20): 8073—8088. © 2013 Sociedad Americana de Química, CC-BY)

Colaborador

Tom Neils - Colegio Comunitario de Grand Rapids