2.7: Momentum angular

Momento angular orbital

Una partícula que se mueve con el impulso p en una posición r relativa a algún origen de coordenadas tiene el llamado momento angular orbital igual a\(\textbf{L} = \textbf{r} \times \textbf{p}\). Los tres componentes de este vector de momento angular en un sistema de coordenadas cartesianas ubicado en el origen mencionado anteriormente se dan en términos de las coordenadas cartesianas de\(\textbf{r}\) y de la\(\textbf{p}\) siguiente manera:

\[{L}_z = x p_y - y p_x ,\]

\[{L}_x = y p_z - z p_y ,\]

\[{L}_y = z p_x - x p_z .\]

Utilizando las relaciones fundamentales de conmutación entre las coordenadas cartesianas y los momentos cartesianos:

\[[ q_k , p_j ] = q_k p_j - p_j q_k = i\hbar \delta_{j,k} ( j,k = x,y,z) ,\]

que se prueban considerando cantidades de la

\[(x p_x - p_x x)f=-i\hbar \left[x\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial (xf)}{\partial x}\right]=i\hbar f,\]

se puede demostrar que los operadores de momento angular anteriores obedecen al siguiente conjunto de relaciones de conmutación:

\[[\textbf{L}_x, \textbf{L}_y] = i\hbar \textbf{L}_z ,\]

\[[\textbf{L}_y, \textbf{L}_z] = i\hbar \textbf{L}_x ,\]

\[[\textbf{L}_z, \textbf{L}_x] = i\hbar \textbf{L}_y .\]

Aunque los componentes de\(\textbf{L}\) no viajan entre sí, se puede mostrar que viajan con el operador\(\textbf{L}^2\) definido por

\[\textbf{L}^2 = \textbf{L}_x^2 + \textbf{L}_y^2 + \textbf{L}_z^2 .\]

Este nuevo operador se conoce como el cuadrado del operador de momento angular total.

Las propiedades de conmutación de los componentes de\(\textbf{L}\) permiten concluir que se pueden encontrar conjuntos completos de funciones que son funciones propias de\(\textbf{L}^2\) y de uno, pero no más de uno, componente de\(\textbf{L}\). Es convencional seleccionar este componente como\(\textbf{L}_z\), y etiquetar los autoestados simultáneos resultantes de\(\textbf{L}^2\) y\(\textbf{L}_z\) como de\(|l,m\rangle \) acuerdo con los valores propios correspondientes:

\[\textbf{L}^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l,m\rangle , l = 0,1,2,3,....\]

\[\textbf{L}_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle , m= ± l, ±(l-1), ±(l-2), ... ±(l-(l-1)), 0.\]

Estas funciones propias de\(\textbf{L}^2\) y de no\(\textbf{L}_z\) serán, en general, funciones propias de cualquiera\(\textbf{L}_x\) o de\(\textbf{L}_y\). Esto significa que cualquier medición de\(\textbf{L}_x\) o necesariamente\(\textbf{L}_y\) cambiará la función de onda si comienza como una función propia de\(\textbf{L}_z\).

Las expresiones anteriores para\(\textbf{L}_x\),\(\textbf{L}_y\), y se\(\textbf{L}_z\) pueden mapear en operadores mecánicos cuánticos sustituyendo\(x\),\(y\), y\(z\) como los operadores de coordenadas correspondientes y\(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}\)\(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial y}\), y\(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial z}\) para\(p_x\), y\(p_y\), y\(p_z\), respectivamente. Los operadores resultantes pueden transformarse en coordenadas esféricas cuyos resultados son:

\[\textbf{L}_z =-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} ,\]

\[\textbf{L}_x = i\hbar \left[\sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} + \cot\theta \cos\phi \frac{\partial}{\partial \phi}\right] ,\]

\[\textbf{L}_y = -i\hbar \left[\cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial \phi}\right] ,\]

\[\textbf{L}^2 = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right] .\]

Propiedades de General Angular Momenta

Hay muchos tipos de momentos angulares que uno encuentra en la química. Momentos angulares orbitales, como el introducido anteriormente, surgen en movimiento electrónico en átomos, en colisiones átomo-átomo y electrón-átomo, y en movimiento rotacional en moléculas. El momento angular de espín intrínseco está presente en los electrones\(H^1, H^2, C^{13},\) y en muchos otros núcleos. En esta Sección, trataremos el comportamiento de todos y cada uno de los momentos angulares y sus correspondientes funciones propias.

A veces, un átomo o molécula contiene más de un tipo de momento angular. Los potenciales de interacción del hamiltoniano presentes en una especie particular pueden o no hacer que estos momentos angulares individuales se acoplen en una extensión apreciable (es decir, el hamiltoniano puede o no contener términos que se refieran simultáneamente a dos o más de estos momentos angulares). Por ejemplo, el\(NH^-\) ion, que tiene un estado\(^2P\) electrónico básico (su configuración electrónica es\(1s^22s^23s^22p_{\pi x}^22p_{\pi y}^1\)) tiene espín electrónico, orbital electrónico, y momenta angular rotacional molecular. El hamiltoniano completo\(H\) contiene términos que acoplan el giro electrónico y el momento angular orbital, provocando con ello que individualmente no se desplacen con ellos\(H\).

En tales casos, los estados propios del sistema pueden etiquetarse rigurosamente solo por números cuánticos de momento angular\(j\) y\(m\) pertenecientes a los operadores de momento angular total\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\). El momento angular total de una colección de momentos angulares individuales se define, componente por componente, de la siguiente manera:

\[J_k = \sum_i J_k(i),\]

donde\(k\) las etiquetas\(x\)\(y\), y\(z\), y\(i\) etiquetan los constituyentes cuyos momentos angulares se acoplan para producir J.

Para el resto de esta Sección, estudiaremos las relaciones de función propia y valor propio que son características de todos los momentos angulares y que son consecuencias de las relaciones de conmutación entre los tres componentes del vector de momento angular. También estudiaremos cómo se combinan funciones propias de dos o más momentos angulares {\(\textbf{J}(i)\)} para producir funciones propias del total\(\textbf{J}\).

Consecuencias de las relaciones de conmutación

Cualquier conjunto de tres operadores que obedezcan

\[[\textbf{J}_x, \textbf{J}_y] = i\hbar \textbf{J}_z ,\]

\[[\textbf{J}_y, \textbf{J}_z] = i\hbar \textbf{J}_x ,\]

\[[\textbf{J}_z, \textbf{J}_x] = i\hbar \textbf{J}_y ,\]

se tomará para definir un momento angular\(\textbf{J}\), cuyo cuadrado\(\textbf{J}^2= \textbf{J}_x^2 + \textbf{J}_y^2 + \textbf{J}_z^2\) conmuta con sus tres componentes. También es útil introducir dos combinaciones de los tres operadores fundamentales\(\textbf{J}_x\) y\(\textbf{J}_y\):

\[\textbf{J}_{\pm} = \textbf{J}_x ± i \textbf{J}_y ,\]

y que se refieran a ellos como operadores de subida y bajada por razones que se aclararán a continuación. Se puede demostrar que estos nuevos operadores obedecen las siguientes relaciones de conmutación:

\[[\textbf{J}^2, \textbf{J}_{\pm}] = 0,\]

\[[\textbf{J}_z, \textbf{J}_{\pm}] = \pm \hbar \textbf{J}_{\pm} .\]

Usando solo las propiedades de conmutación anteriores, es posible probar propiedades importantes de las funciones propias y los valores propios de\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\). Supongamos que hemos encontrado un conjunto de funciones propias simultáneas de\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\); el hecho de que estos dos operadores conmuten nos dice que esto es posible. Etiquetemos los valores propios que pertenecen a estas funciones:

\[\textbf{J}^2 |j,m\rangle = \hbar^2 f(j,m) |j,m\rangle ,\]

\[\textbf{J}_z |j,m\rangle = \hbar m|j,m\rangle ,\]

en términos de las cantidades\(m\) y\(f(j,m)\). Si bien indudablemente insinuamos que estas cantidades deben estar relacionadas con números ciertos\(j\) y\(m\) cuánticos, aún no lo hemos probado, aunque pronto lo haremos. Por ahora, vemos\(f(j,m)\) y\(m\) simplemente como símbolos que representan los respectivos valores propios. Debido a que ambos\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\) son hermitianos, las funciones propias que pertenecen a números diferentes\(f(j,m)\) o\(m\) cuánticos deben ser ortogonales:

\[\langle j,m|j',m'\rangle = \delta_{m,m^\prime} \delta_{j,j^\prime} .\]

Ahora probamos varias identidades que son necesarias para descubrir la información sobre los valores propios y las funciones propias de los momentos angulares generales que buscamos. Posteriormente en esta Sección se resumen los resultados esenciales.

Hay un valor propio máximo y un mínimo para\(\textbf{J}_z\)

Debido a que todos los componentes de\(\textbf{J}\) son hermitianos, y debido a que el producto escalar de cualquier función consigo misma es positivo semidefinido, se mantiene la siguiente identidad:

\[\langle j,m|\textbf{J}_x^2 + \textbf{J}_y^2|j,m\rangle = \langle \textbf{J}_x\langle j,m| \textbf{J}_x|j,m\rangle + \langle \textbf{J}_y\langle j,m| \textbf{J}_y|j,m\rangle \ge 0.\]

Sin embargo,\(\textbf{J}_x^2 + \textbf{J}_y^2\) es igual a\(\textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2\), por lo que esta desigualdad implica que

\[\langle j,m| \textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 |j,m\rangle = \hbar^2 {f(j,m) - m^2} \ge 0,\]

lo que, a su vez, implica que\(m^2\) debe ser menor o igual a\(f(j,m)\). Por lo tanto, para cualquier valor del valor propio de momento angular total\(f\), el valor propio de proyección z (\(m\)) debe tener un valor máximo y un valor mínimo y ambos deben ser menores o iguales al valor propio de momento angular total al cuadrado\(f\).

Los operadores de aumento y descenso cambian\(\textbf{J}_z\) el valor propio pero no\(\textbf{J}^2\) el valor propio al actuar sobre\(|j,m\rangle \)

La aplicación de las relaciones de conmutación obedecidas por\(\textbf{J}_{\pm}\) a\(|j,m\rangle \) arroja otro resultado útil:

\[\textbf{J}_z \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle - \textbf{J}_{\pm} \textbf{J}_z |j,m\rangle = \pm \hbar \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle ,\]

\[\textbf{J}^2 \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle - \textbf{J}_{\pm} \textbf{J}^2 |j,m\rangle = 0.\]

Ahora bien, usando el hecho de que\(|j,m\rangle \) es un estado propio de\(\textbf{J}^2\) y de\(\textbf{J}_z\), estas identidades dan

\[\textbf{J}_z \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = (m\hbar \pm \hbar) \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = h (m±1) |j,m\rangle ,\]

\[\textbf{J}^2 \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = \hbar^2 f(j,m) \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle .\]

Estas ecuaciones prueban que las funciones\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) deben ser en sí mismas funciones propias de\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\), con valores propios\(\hbar^2 f(j,m)\) y\(\hbar (m+1)\), respectivamente, o\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) deben ser iguales a cero. En el primer caso, vemos que\(\textbf{J}_{\pm}\) actuar sobre\(|j,m\rangle \) genera un nuevo estado propio con el mismo\(\textbf{J}^2\) valor propio que\(|j,m\rangle \) pero con una unidad de h mayor o menor\(\textbf{J}_z\) en valor propio. Es por ello que llamamos operadores de\(\textbf{J}_{\pm}\) subida y bajada. Observe que, aunque en efecto\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) es una función propia de\(\textbf{J}_z\) con valor propio\((m±1) \hbar\), no\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) es idéntica a\(|j,m±1\rangle \); solo es proporcional a\(|j,m±1\rangle \):

\[\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = C^±_{j,m}|j,m±1\rangle .\]

A continuación se obtendrán expresiones explícitas para estos\(C^±_{j,m}\) coeficientes. Observe también que debido a que el\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \)\(|j,m±1\rangle \), y por lo tanto, tienen el mismo\(\textbf{J}^2\) valor propio que\(|j,m\rangle \) (de hecho, la aplicación secuencial de se\(\textbf{J}_{\pm}\) puede utilizar para mostrar que todos\(|j,m'\rangle \)\(m'\), para todos, tienen este mismo\(\textbf{J}^2\) valor propio),\(\textbf{J}^2\) el valor propio\(f(j,m)\) debe ser independiente de m. Por esta razón, se\(f\) puede etiquetar con un número cuántico j.

iii. \(\textbf{J}^2\)Los valores propios están relacionados con los\(\textbf{J}_z\) valores propios máximos y mínimos, que están relacionados entre sí

Anteriormente, demostramos que existe un valor máximo y un valor mínimo para m, para cualquier momento angular total dado. Es cuando uno llega a estos casos limitantes lo que\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = 0\) aplica. En particular,

\[\textbf{J}_{+} |j,m_{\rm max}\rangle = 0,\]

\[\textbf{J}_{-} |j,m_{\rm min}\rangle = 0.\]

Aplicando las siguientes identidades:

\[\textbf{J}_{-} \textbf{J}_{+} = \textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 -\hbar \textbf{J}_z ,\]

\[\textbf{J}_{+} \textbf{J}_{-} = \textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 +\hbar \textbf{J}_z,\]

respectivamente, a\(|j,m_{\rm max}\rangle \) y\(|j,m_{\rm min}\rangle \) da

\[\hbar^2 \{ f(j,m_{\rm max}) - m_{\rm max}^2 - m_{\rm max}\} = 0,\]

\[\hbar^2 \{ f(j,m_{\rm min}) - m_{\rm min}^2 + m_{\rm min}\} = 0,\]

que inmediatamente da el\(\textbf{J}^2\) valor propio\(f(j,m_{\rm max})\) y\(f(j,m_{\rm min})\) en términos de\(m_{\rm max}\) o\(m_{\rm min}\):

\[f(j,m_{\rm max}) = m_{\rm max} (m_{\rm max}+1),\]

\[f(j,m_{\rm min}) = m_{\rm min} (m_{\rm min}-1).\]

Entonces, ahora conocemos los\(\textbf{J}^2\) valores propios para\(|j,m_{\rm max}\rangle \) y\(|j,m_{\rm min}\rangle \). Sin embargo, anteriormente demostramos que\(|j,m\rangle \) y\(|j,m-1\rangle \) tenemos el\(\textbf{J}^2\) mismo valor propio (cuando tratamos el efecto de\(\textbf{J}_{\pm}\) on\(|j,m\rangle \)) y que el\(\textbf{J}^2\) valor propio es independiente de m. Si por lo tanto definimos el número cuántico\(j\) a ser\(m_{\rm max}\), vemos que el \(\textbf{J}^2\)los valores propios están dados por

\[\textbf{J}^2 |j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle .\]

También vemos que

\[f(j,m) = j(j+1) = m_{\rm max} (m_{\rm max}+1) = m_{\rm min} (m_{\rm min}-1),\]

de lo que se deduce que

\[m_{\rm min} = - m_{\rm max} .\]

El número\(j\) cuántico puede ser entero o medio entero

El hecho de que los\(m\) -valores van desde\(j\) hasta\(-j\) en pasos unitarios (debido a la propiedad de\(\textbf{J}_{\pm}\) los operadores), claramente puede haber solo valores enteros o semienteros para\(j\). En el primer caso, el número\(m\) cuántico se agota\(-j, -j+1, -j+2, ..., -j+(j-1), 0, 1, 2, ... j\);

en este último,\(m\) atropella\(-j, -j+1, -j+2, ...-j+\Big(j-\dfrac{1}{2}\Big), \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, ...j\). Solo los valores enteros y semienteros pueden variar de\(j\) a\(-j\) en pasos de unidad. Las especies cuyos momentos angulares intrínsecos son números enteros se conocen como Bosones y las que tienen espín medio entero se llaman Fermiones.

Más sobre\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \)

Utilizando los resultados anteriores para el efecto de\(\textbf{J}_{\pm}\) actuar sobre\(|j,m\rangle \) y el hecho de que\(\textbf{J}_{+}\) y\(\textbf{J}_{-}\) son colindantes entre sí (dos operadores\(\textbf{F}\) y\(\textbf{G}\) son anexos si\(\langle \psi|\textbf{F}|\chi\rangle = \langle \textbf{G}\psi|\chi\rangle \), para todos\(\psi\) y para todos\(\chi\)) nos permite escribir:

\[\langle j,m| \textbf{J}_{-} \textbf{J}_{+} |j,m\rangle = \langle j,m| (\textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 -\hbar \textbf{J}_z ) |j,m\rangle \]

\[= \hbar^2 {j(j+1)-m(m+1)} = \langle \textbf{J}_{+}\langle j,m| \textbf{J}_{+}|j,m\rangle = (C^+_{j,m})^2,\]

donde\(C^+_{j,m}\) es la constante de proporcionalidad entre\(\textbf{J}_{+}|j,m\rangle\) y la función normalizada

\(|j,m+1\rangle\). Asimismo, el efecto de\(\textbf{J}_{-}\) puede expresarse como

\[\langle j,m| \textbf{J}_{+} \textbf{J}_{-} |j,m\rangle = \langle j,m| (\textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 +\hbar \textbf{J}_z) |j,m\rangle \]

\[= \hbar^2 {j(j+1)-m(m-1)} = \langle \textbf{J}_{-}\langle j,m| \textbf{J}_{-}|j,m\rangle = (C^-_{j,m})^2,\]

donde\(C^-_{j,m}\) es la constante de proporcionalidad entre\(\textbf{J}_{-} |j,m\rangle\) y la normalizada\(|j,m-1\rangle\). Así, podemos resolver para\(C^±_{j,m}\) después de lo cual el efecto de\(\textbf{J}_{\pm}\) on\(|j,m\rangle\) viene dado por:

\[\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = h \sqrt{j(j+1) –m(m±1)} |j,m±1\rangle .\]

Resumen

Los resultados anteriores se aplican a cualquier operador de momento angular. Los hallazgos esenciales se pueden resumir de la siguiente manera:

(i)\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\) tener juegos completos de funciones propias simultáneas. Etiquetamos estas funciones propias\(|j,m\rangle \); son ortonormales tanto en sus índices de tipo m como j:

\[\langle j,m| j',m'\rangle = \delta_{m,m^\prime} \delta_{j,j^\prime} .\]

(ii) Estas\(|j,m\rangle \) funciones propias obedecen:

\[\textbf{J}^2 |j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle , \{ j= \text{ integer or half-integer}\},\]

\[\textbf{J}_z |j,m\rangle = \hbar m|j,m\rangle , \{ m= -j,\text{ in steps of 1 to }+j\}.\]

iii) Los operadores de elevación y descenso\(\textbf{J}_{\pm}\) actúan\(|j,m\rangle \) para producir funciones que son funciones propias de\(\textbf{J}^2\) con el mismo valor propio que\(|j,m\rangle \) y funciones propias de\(\textbf{J}_z\) con valor propio de\((m±1) \hbar\):

\[\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1) - m(m±1)} |j,m±1\rangle .\]

iv) Cuando\(\textbf{J}_{\pm}\) actúa sobre los estados extremos\(|j,j\rangle \) o\(|j,-j\rangle \), respectivamente, el resultado es cero.

Los resultados dados anteriormente son, como se indicó, de carácter general. Todos y cada uno de los momentos angulares tienen operadores mecánicos cuánticos que obedecen estas ecuaciones. Es convención designar tipos específicos de momentos angulares por letras específicas; sin embargo, hay que tener en cuenta que no importa qué letras se usen, hay operadores correspondientes a\(\textbf{J}^2\),\(\textbf{J}^z\), y\(\textbf{J}_{\pm}\) que obedecen relaciones como se especificó anteriormente, y hay funciones propias y valores propios que tengan todas las propiedades obtenidas anteriormente. Para los momentos angulares orbitales electrónicos o colisionales, es común su uso\(\textbf{L}^2\) y\(\textbf{L}^z\); para el espín de electrones, se usan S2 y Sz; para el espín nuclear I2 e Iz son los más comunes; y para el momento angular rotacional molecular, N2 y Nz son los más comunes (aunque a veces\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}^z\) pueden ser utilizado). Siempre que dos o más momentos angulares se combinen o acoplen para producir un momento angular total, este último es designado por\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}^z\).

Acoplamiento de Momenta Angular

Si el hamiltoniano en estudio contiene términos que acoplan dos o más momentos angulares\(\textbf{J}(i)\), entonces solo los componentes del momento angular total\(\textbf{J} =\sum_i\textbf{J}(i)\) y el total\(\textbf{J}^2\) se desplazarán con\(\textbf{H}\). Por lo tanto, es esencial etiquetar los estados cuánticos del sistema por los valores propios de\(\textbf{J}_z\)\(\textbf{J}^2\) y construir funciones variacionales de prueba o modelo de onda que son funciones propias de estos operadores de momento angular total. El problema del acoplamiento de momento angular tiene que ver con cómo combinar funciones propias de los operadores de momento angular desacoplados, que se dan como productos simples de las funciones propias de los momentos angulares individuales\(\prod_i |j_i,m_i\rangle \), para formar funciones propias de\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\).

Funciones propias de\(\textbf{J}_z\)

Debido a que los elementos individuales de\(J\) se forman aditivamente, pero\(\textbf{J}^2\) no lo es, es sencillo formar autoestados de

\[\textbf{J}_z =\sum_i\textbf{J}_z(i);\]

productos simples de la forma\(\prod_i |j_i,m_i\rangle \) son funciones propias de\(\textbf{J}_z\):

\[\textbf{J}_z \prod_i |j_i,m_i\rangle = \sum_k \textbf{J}_z(k) \prod_i |j_i,m_i\rangle = \sum_k \hbar m_k \prod_i |j_i,m_i\rangle ,\]

y tienen\(\textbf{J}_z\) valores propios iguales a la suma de los\(m_k\hbar\) valores propios individuales. Por lo tanto, para formar una función propia con\(M\) valores especificados\(J\) y propios, se deben combinar solo aquellos estados de producto\(\prod_i |j_i,m_i\rangle \) cuya\(m_i\hbar\) suma sea igual al\(M\) valor especificado.

Funciones propias de\(\textbf{J}^2\); la serie Clebsch-Gordon

La tarea se reduce entonces a formar funciones propias\(|J,M\rangle \), dados valores particulares para los {\(j_i\)} números cuánticos. Al acoplar pares de momentos angulares {\(|j,m\rangle \)y\(|j',m'\rangle\)}, los estados de momento angular totales se pueden escribir, de acuerdo con lo que determinamos anteriormente, como

\[|J,M\rangle = \sum_{m,m'} C^{J,M}_{j,m;j',m'} |j,m\rangle |j',m'\rangle ,\]

donde los coeficientes\(C^{J,M}_{j,m;j',m'}\) se denominan coeficientes de acoplamiento vectorial (porque el acoplamiento de momento angular se ve muy parecido\(\textbf{j}'\) a sumar dos vectores\(\textbf{j}\) y producir otro vector\(\textbf{J}\)), y donde la suma sobre\(m\) y\(m'\) se restringe a aquellos términos para los cuales \(m+m' = M\). Es más común expresar el acoplamiento vectorial o los llamados coeficientes de Clebsch-Gordon (CG) como\(\langle j,m;j'm'|J,M\rangle \) y verlos como elementos de una matriz cuyas columnas están etiquetadas por los números\(J,M\) cuánticos de estado acoplado y cuyas filas están etiquetadas por los números cuánticos que caracterizan el base de producto desacoplado\(j,m;j',m'\). Resulta que esta matriz puede mostrarse unitaria para que los coeficientes CG obedezcan:

\[\sum_{m,m'} \langle j,m;j'm'|J,M\rangle ^* \langle j,m;j'm'|J',M'\rangle = \delta_{j,j^\prime} \delta_{m,m^\prime}\]

y

\[\sum_{J,M} \langle j,n;j'n'|J,M\rangle \langle j,m;j'm'|J,M\rangle ^* = \delta_{n,m} \delta_{n',m'}.\]

Esta unitariedad de la matriz de coeficientes CG permite la inversa de la relación dando funciones acopladas en términos de las funciones del producto:

\[|J,M\rangle = \sum_{m,m'} \langle j,m;j'm'|J,M\rangle |j,m\rangle |j',m'\rangle \]

que se escriban como:

\[|j,m\rangle |j',m'\rangle = \sum_{J,M} \langle j,m;j'm'|J,M\rangle ^* |J,M\rangle \]

\[= \sum_{J,M} \langle J,M|j,m;j'm'\rangle |J,M\rangle .\]

Este resultado expresa las funciones del producto en términos de las funciones de momento angular acopladas.

Generación de los Coeficientes Clebsch-Gordon

Los coeficientes de Clebsch-Gordon pueden generarse de manera sistemática; sin embargo, también pueden buscarse en libros donde han sido tabulados (e.g., ver Tabla 2.4 de R. N. Zare, Angular Momentum, John Wiley, Nueva York (1988)). Aquí, demostraremos la técnica mediante la cual se pueden obtener los coeficientes CG, pero lo haremos para casos bastante limitados y referiremos al lector a tabulaciones más extensas para más casos.

La estrategia que tomamos es generar el\(|J,J\rangle \) estado (es decir, el estado con\(M\) valor máximo) y luego usarlo\(\textbf{J}_{-}\) para generar\(|J,J-1\rangle \), después de lo cual se construye el estado\(|J-1,J-1\rangle \) (es decir, el estado con un\(\textbf{J}_{-}\) valor menor) encontrando una combinación de los estados del producto en términos de los cuales\(|J-1,J-1\rangle \) se expresa (porque ambos\(|J-1,J-1\rangle \) y\(|J-1,J-1\rangle \) tienen el mismo\(M\) -valor\(M=J-1\)) que es ortogonal a\(|J,J-1\rangle \) (porque\(|J-1,J-1\rangle \) y\(|J,J-1\rangle \) son funciones propias del operador hermitiano\(\textbf{J}^2\) correspondientes a diferentes valores propios, deben ser ortogonal). Este mismo proceso se utiliza entonces para generar\(|J,J-2\rangle |J-1,J-2\rangle \) y (por construcción de ortogonalidad)\(|J-2,J-2\rangle \), y así sucesivamente.

Los estados con valores M máximos y mínimos

Comenzamos con el estado\(|J,J\rangle \) teniendo el mayor\(M\) -valor. Este estado debe formarse tomando los\(m'\) valores más altos\(m\) y más altos (es decir,\(m=j\) y\(m'=j'\)), y viene dado por:

\[|J,J\rangle = |j,j\rangle |j'j'\rangle .\]

Solo se necesita este producto porque solo el término con m=j y m'=j' contribuye a la suma en la serie CG anterior. El Estado

\[|J,-J\rangle = |j,-j\rangle |j',-j'\rangle \]

con el\(M\) valor mínimo también se da como un solo estado de producto. Observe que estos estados tienen\(M\) -valores dados como\(±(j+j')\); ya que este es el\(M\) valor -máximo, debe ser que el\(J\) -valor correspondiente a este estado sea\(J= j+j'\).

Estados con un valor M inferior pero el mismo\(\textbf{J}_{-}\) valor

Aplicando\(\textbf{J}_{-}\) a\(|J,J\rangle \), y expresando\(\textbf{J}_{-}\) como la suma de operadores de descenso para los dos momentos angulares individuales:

\[\textbf{J}_{-} = \textbf{J}_{-}(1) + \textbf{J}_{-}(2)\]

da

\[\textbf{J}_{-}|J,J\rangle = \hbar\sqrt{J(j+1) -J(j-1)} |J,J-1\rangle \]

\[= (\textbf{J}_{-}(1) + \textbf{J}_{-}(2)) |j,j\rangle |j'j'\rangle \]

\[= \hbar\sqrt{j(j+1) - j(j-1)} |j,j-1\rangle |j',j'\rangle + \hbar\sqrt{j'(j'+1)-j'(j'-1)} |j,j\rangle |j',j'-1\rangle .\]

Este resultado expresa de\(|J,J-1\rangle \) la siguiente manera:

\[|J,J-1\rangle = \frac{\sqrt{j(j+1)-j(j-1)} |j,j-1\rangle |j',j'\rangle + \sqrt{j'(j'+1)-j'(j'-1)} |j,j\rangle |j',j'-1\rangle }{\sqrt{J(J+1) -J(J-1)}};\]

es decir, el\(|J,J-1\rangle \) estado, que tiene\(M=J-1\), se forma a partir de los dos estados producto\(|j,j-1\rangle |j',j'\rangle \) y\(|j,j\rangle |j',j'-1\rangle \) que tienen este mismo\(M\) -valor.

iii. Estados con un\(\textbf{J}_{-}\) valor más bajo

Para encontrar el estado\(|J-1,J-1\rangle \) que tiene el mismo\(M\) -valor que el encontrado anteriormente pero un\(\textbf{J}_{-}\) valor menor, debemos construir otra combinación de los dos estados de producto con\(M=J-1\) (es decir,\(|j,j-1\rangle |j',j'\rangle \) y\(|j,j\rangle |j',j'-1\rangle \)) que es ortogonal a la combinación que representa\(|J,J-1\rangle \); después de hacer entonces, debemos escalar la función resultante para que se normalice correctamente. En este caso, la función deseada es:

\[|J-1,J-1\rangle = \dfrac{\sqrt{j(j+1)-j(j-1)} |j,j\rangle |j',j'-1\rangle -\sqrt{j'(j'+1)-j'(j'-1)} |j,j-1\rangle |j',j'\rangle}{\sqrt{J(J+1) -J(J-1)}} .\]

Es sencillo demostrar que esta función es de hecho ortogonal a\(|J,J-1\rangle \).

Estados con incluso un\(\textbf{J}_{-}\) valor más bajo

Habiendo expresado\(|J,J-1\rangle \) y\(|J-1,J-1\rangle \) en términos de\(|j,j-1\rangle \)\(|j',j'\rangle\) y\(|j,j\rangle |j',j'-1\rangle \), ahora estamos preparados para seguir adelante con este proceso paso a paso para generar los estados\(|J,J-2\rangle \),\(|J-1,J-2\rangle \) y\(|J-2,J-2\rangle \) como combinaciones de los estados del producto con\(M=J-2\). Estos estados del producto son\(|j,j-2\rangle |j',j'\rangle \),\(|j,j\rangle |j',j'-2\rangle \), y\(|j,j-1\rangle |j',j'-1\rangle \). Observe que existen precisamente tantos estados de producto cuyos\(m+m'\) valores suman el\(M\) valor deseado como estados de momento angular total que deben construirse (hay tres de cada uno en este caso).

Los pasos necesarios para encontrar el estado\(|J-2,J-2\rangle \) son análogos a los dados anteriormente:

1. Uno primero se aplica\(\textbf{J}_{-}\) a\(|J-1,J-1\rangle \) y\(|J,J-1\rangle \) para obtener\(|J-1,J-2\rangle \) y\(|J,J-2\rangle \), respectivamente como combinaciones de\(|j,j-2\rangle |j',j'\rangle \),\(|j,j\rangle |j',j'-2\rangle \), y\(|j,j-1\rangle |j',j'-1\rangle \).
2. Luego se construye\(|J-2,J-2\rangle \) como una combinación lineal de la\(|j,j-2\rangle |j',j'\rangle \),\(|j,j\rangle |j',j'-2\rangle \), y\(|j,j-1\rangle |j',j'-1\rangle \) que es ortogonal a las combinaciones encontradas para\(|J-1,J-2\rangle \) y\(|J,J-2\rangle \).

Una vez\(|J-2,J-2\rangle\) obtenido, entonces es posible pasar a formar\(|J,J-3\rangle \)\(|J-1,J-3\rangle \), y\(|J-2,J-3\rangle \) aplicando\(\textbf{J}_{-}\) a los tres estados obtenidos en la aplicación anterior del proceso, y luego formar\(|J-3,J-3\rangle \) como la combinación de\(|j,j-3\rangle |j',j'\rangle \),\(|j,j\rangle |j',j'-3\rangle \),\(|j,j-2\rangle |j',j'-1\rangle \),\(|j,j-1\rangle |j',j'-2\rangle \) que es ortogonal a las combinaciones obtenidas para\(|J,J-3\rangle \),\(|J-1,J-3\rangle \), y\(|J-2,J-3\rangle \).

Nuevamente note que precisamente hay el número correcto de estados del producto (cuatro aquí) ya que hay estados de momento angulares totales que se van a formar. De hecho, los estados del producto y los estados de momento angular total son iguales en número y son ambos miembros de conjuntos de funciones ortonormales (porque\(\textbf{J}^2(1)\)\(\textbf{J}_z(1)\)\(\textbf{J}^2(2)\),,, y así\(\textbf{J}_z(2)\) como\(\textbf{J}^2\) y\(\textbf{J}_z\) son operadores hermitianos que tienen conjuntos completos de ortonormal funciones propias). Es por ello que la matriz de coeficientes CG es unitaria; porque mapea un conjunto de funciones ortonormales a otro, con ambos conjuntos conteniendo el mismo número de funciones.

Ejemplo

Ejemplo 1

Consideremos un ejemplo en el que el espín y los momentos angulares orbitales del átomo de Si en su estado\(^3P\) fundamental pueden acoplarse para producir diversos\(^3P_J\) estados. En este caso, los valores específicos para\(j\) y\(j'\) son\(j=S=1\) y\(j'=L=1\). Podríamos, por supuesto tomar\(j=L=1\) y\(j'=S=1\), pero las funciones de onda finales obtenidas abarcarían el mismo espacio que las que estamos a punto de determinar. El estado con mayor\(M\) -valor es el\((^3P(M_s=1, M_L=1)\) estado, que puede ser representado por el producto de una función\(\alpha\alpha\) spin (representando\(S=1, M_s=1\)) y una función\(3p_13p_0\) espacial (representando\(L=1, M_L=1\)), donde la primera función corresponde al primer orbital de shell abierto y el segundo función al segundo orbital de caparazón abierto. Así, el\(M\) valor máximo es\(M= 2\) y corresponde a un estado con\(J=2\): \[J=2,M=2\rangle = |2,2\rangle = \alpha\alpha 3p_13p_0 .\] Claramente, el estado se\(|2,-2\rangle\) daría como\(\beta\beta 3p_{-1}3p_0\). Los estados\(|2,1\rangle\) y\(|1,1\rangle\) con un\(M\) valor inferior se obtienen aplicando\(\textbf{J}_{-} = \textbf{S}_{-} + \textbf{L}_{-}\) a\(|2,2\rangle \) lo siguiente: \[\textbf{J}_{-} |2,2\rangle = \hbar\sqrt{J(J+1)-M(M-1)} |2,1\rangle = \hbar\sqrt{2(3)-2(1)} |2,1\rangle \] \[= (\textbf{S}_{-} + \textbf{L}_{-}) \alpha\alpha 3p_13p_0 .\] Para aplicar\(\textbf{S}_{-}\) o\(\textbf{L}_{-}\) para\(\alpha\alpha 3p_13p_0\), uno debe darse cuenta de que cada uno de estos operadores es, a su vez, una suma de operadores descendentes para cada uno de los dos electrones de caparazón abierto: \[\textbf{S}_{-} = \textbf{S}_{-}(1) + \textbf{S}_{-}(2),\] \[\textbf{L}_{-} = \textbf{L}_{-}(1) + \textbf{L}_{-}(2).\] Por lo tanto, el resultado anterior puede continuarse como \[(\textbf{S}_{-} + \textbf{L}_{-}) \alpha\alpha 3p_13p_0 = \hbar\sqrt{\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)} \beta\alpha 3p_13p_0\] \[+ \hbar\sqrt{\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)} \alpha\beta 3p_13p_0\] \[+ \hbar\sqrt{1(2)-1(0)} \alpha\alpha 3p_03p_0\] \[+ \hbar\sqrt{1(2)-0(-1)} \alpha\alpha 3p_13p_{-1}.\] Entonces, la función\(|2,1\rangle \) viene dada por \[|2,1\rangle = \dfrac{1}{2}[\beta\alpha 3p_13p_0 + ab 3p_13p_0 + \sqrt{2} \alpha\alpha 3p_03p_0+ \sqrt{2} \alpha\alpha 3p_13p_{-1}],\] que se puede reescribir como: \[|2,1\rangle = \dfrac{1}{2}[(\beta\alpha + ab)^3p_13p_0 + \sqrt{2} \alpha\alpha (3p_03p_0 + 3p_13p_{-1})].\] Escribir el resultado de esta manera deja claro que\(|2,1\rangle\) es una combinación de los estados del producto\(|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle \) (los términos que contienen\(|S=1,M_S=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha​\beta​+\beta\alpha​))\) y\(|S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle \) (los términos que contienen\(|S=1,M_S=1\rangle = \alpha\alpha\)). Existe una buena posibilidad de que algunos lectores hayan notado que algunos de los términos en la\(|2,1\rangle \) función violarían el principio de exclusión de Pauli. En particular, el término\(\alpha\alpha 3p_03p_0\) coloca dos electrones en los mismos orbitales y con el mismo giro. En efecto, esta función electrónica en efecto violaría el principio Pauli, y no debería permitirse que contribuyera a las funciones finales de\(^3P_J\) onda Si que estamos tratando de formar. La resolución completa de cómo enfrentar esta paradoja se da en la siguiente Subsección, pero por ahora permítanme decir lo siguiente: (i) Una vez que haya aprendido que todas las funciones del producto spin-orbital mostradas para\(|2,1\rangle\) (por ejemplo\(\alpha\alpha 3p_03p_0\)\((\beta\alpha + \alpha​\beta​​)^3p_13p_0 \),,, y\(\alpha\alpha 3p_13p_{-1}\)) representan determinantes de Slater (tratamos esto en la siguiente Subsección) que son antisimétricos con respecto a la permutación de cualquier par de electrones, comprenderá que el determinante Slater correspondiente a se\(\alpha\alpha 3p_03p_0\) desvanece. (ii) Si, en lugar de considerar la\(3s^2 3p^2\) configuración de Si, quisiéramos generar funciones de onda para los\(3s^2 3p^1 4p^1\)\(^3P_J\) estados de Si, correspondería el mismo análisis que se mostró anteriormente, excepto que ahora el\(|2,1\rangle \) estado tendría una contribución de\(\alpha\alpha 3p_04p_0\). Esta contribución no viola el principio Pauli, y su determinante Slater no se desvanece. Entonces, para lo que resta de este tratamiento a los\(^3P_J\) estados de Si, no se preocupen de que surjan términos que violen el principio Pauli; no aportarán porque sus determinantes Slater desaparecerán. Para formar la otra función con\(M=1\), el\(|1,1\rangle\) estado, debemos encontrar otra combinación de\(|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle\) y\(|S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle\) que sea ortogonal a\(|2,1\rangle\) y esté normalizada. Desde \[|2,1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle + |S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle ],\] inmediatamente vemos que la función requerida es \[|1,1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle - |S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle ].\] En la notación spin-orbital utilizada anteriormente, este estado es: \[|1,1\rangle = \dfrac{(\beta\alpha + ab)^3p_13p_0 - \sqrt{2} \alpha\alpha (3p_03p_0 + 3p_13p_{-1})}{2}.\] Hasta el momento, hemos encontrado los\(^3P_J\) estados con\(J=2, M=2; J=2, M=1;\) y\(J=1, M=1\). Para encontrar los\(^3P_J\) estados con\(J=2, M=0; J=1, M=0\); y\(J=0, M=0,\) debemos aplicar una vez más la\(\textbf{J}_{-}\) herramienta. En particular, aplicamos\(\textbf{J}_{-}\)\(|2,1\rangle\) para obtener\(|2,0\rangle\) y aplicamos\(\textbf{J}_{-}\)\(|1,1\rangle\) para obtener\(|1,0\rangle \), cada uno de los cuales se expresará en términos de\(|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=0\rangle \),\(|S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=-1\rangle \), y\(|S=1,M_S=-1\rangle |L=1,M_L=1\rangle \). El\(|0,0\rangle\) estado se construye entonces para ser una combinación de estos mismos estados de producto que es ortogonal a\(|2,0\rangle\) y a\(|1,0\rangle \). Los resultados son los siguientes: \[|J=2,M=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}[2 |1,0\rangle |1,0\rangle + |1,1\rangle |1,-1\rangle + |1,-1\rangle |1,1\rangle ],\] \[|J=1,M=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}[|1,1\rangle |1,-1\rangle - |1,-1\rangle |1,1\rangle ],\] \[|J=0, M=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}[|1,0\rangle |1,0\rangle - |1,1\rangle |1,-1\rangle - |1,-1\rangle |1,1\rangle ],\] donde, en todos los casos, se ha utilizado una notación manual corta en la que los\(|S,M_S\rangle |L,M_L\rangle \) productos declarados han sido representados por sus números cuánticos con la función spin siempre apareciendo primero en el producto. Para finalmente expresar las tres nuevas funciones en términos de productos spin-orbitales es necesario dar a los\(|S,M_S\rangle |L,M_L\rangle \) productos con\(M=0\) en términos de estos productos. Para las funciones de giro, tenemos: \[|S=1,M_S=1\rangle = \alpha\alpha,\] \[|S=1,M_S=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\beta+\beta\alpha).\] \[|S=1,M_S=-1\rangle = \beta\beta.\] Para la función de producto orbital, contamos con: \[|L=1, M_L=1\rangle = 3p_13p_0 ,\] \[|L=1,M_L=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(3p_03p_0 + 3p_13p_{-1}),\] \[|L=1, M_L=-1\rangle = 3p_03p_{-1}.\]

Momenta Angular de Acoplamiento de Electrones Equivalentes

Si se acoplan momentos angulares equivalentes (por ejemplo, para acoplar los momentos angulares orbitales de a\(p^2\) o\(d^3\) configuración), existe una herramienta que se puede usar para determinar cuál de los términos símbolos viola el principio Pauli. Para llevar a cabo este paso, se forman todos los estados de producto únicos (determinentales) posibles con\(M_S\) valores no negativos\(M_L\) y los organiza en grupos de acuerdo a sus\(M_S\) valores\(M_L\) y. Por ejemplo, las “cajas” apropiadas a la ocupación\(p^2\) orbital que consideramos anteriormente para Si se muestran a continuación:

M S M L	2	1	0
1		|p 1 α p 0 α |	|p 1 α p -1 α|
0	|p 1 α p 1 β|	|p 1 α p 0 β |, |p 0 α p 1 β|	|p 1 α p -1 β |, |p -1 αp 1 β|, |p 0 α p 0 β |

No es necesario formar los estados correspondientes con\(M_S\) valores negativos\(M_L\) o negativos porque son simplemente “imágenes especulares” de las enumeradas anteriormente. Por ejemplo, el estado con\(M_L= -1\) y\(M_S = -1\) es\(|p_{-1}\beta p_0\beta |\), que se puede obtener del\(M_L = 1, M_S = 1\) estado\(|p_1\alpha p_0\alpha |\) reemplazando a por b y reemplazando\(p_1\) por\(p_{-1}\).

Dadas las entradas de casilla, se pueden identificar aquellos símbolos de término que surgen aplicando el siguiente procedimiento una y otra vez hasta que se hayan contabilizado todas las entradas:

1. Uno identifica el\(M_S\) valor más alto (esto da un valor del número cuántico de giro total que surge\(S\)) en la caja. Para el ejemplo anterior, la respuesta es\(S = 1\).
2. Para todos los estados de producto de este\(M_S\) valor, se identifica el\(M_L\) valor más alto (esto da un valor del momento angular orbital total,\(\textbf{L}\), que puede surgir para esto\(S\)). Para el ejemplo anterior, el más alto\(M_L\) dentro de los\(M_S =1\) estados es\(M_L = 1\) (no\(M_L = 2\)), de ahí\(L=1\).
3. Conociendo una\(S, L\) combinación, se conoce el símbolo del primer término que surge de esta configuración. En el\(p^2\) ejemplo, esto es\(^3P\).
4. Debido a que el nivel con este\(\textbf{L}\) y los números\(S\) cuánticos contiene\((2L+1)(2S+1)\) estados con\(M_L\) y números\(M_S\) cuánticos\(-L\) que\(L\) van desde hacia y desde\(-S\) hasta\(S\), respectivamente, se debe eliminar de la caja original este número de estados del producto. Para ello, uno simplemente borra de la casilla una entrada con cada tal\(M_L\) y\(M_S\) valor. En realidad, dado que la caja solo necesita mostrar aquellas entradas con\(M_S\) valores no negativos\(M_L\) y, solo estas entradas necesitan ser eliminadas explícitamente. En el\(^3P\) ejemplo, esto equivale a eliminar nueve estados de producto con\(M_L\),\(M_S\) valores de 1,1; 1,0; 1, -1; 0,1; 0,0; 0, -1; -1,1; -1,0; -1, -1.
5. Después de eliminar estas entradas, se vuelve al paso 1 y vuelve a realizar el proceso. Para el\(p^2\) ejemplo, el cuadro después de eliminar los primeros nueve estados del producto se ve de la siguiente manera (los que aparecen en cursiva deben verse como ya eliminados al contar todos los\(^3P\) estados):

M S M L	2	1	0
1		|p 1 α p 0 α |	|p 1 α p -1 α|
0	|p 1 α p 1 β|	|p 1 α p 0 β |, |p 0 α p 1 β|	|p 1 α p -1 β |, |p -1 αp 1 β|, |p 0 α p 0 β |

Cabe destacar que el proceso de borrar o tachar entradas en diversas\(M_L, M_S\) casillas implica únicamente contar cuántos estados hay; de ninguna manera identificamos las funciones de\(L,S,M_L,M_S\) onda particulares cuando tachamos alguna entrada en particular en una caja. Por ejemplo, cuando el\(|p_1\alpha p_0\beta |\) producto se elimina de la\(M_L= 1, M_S=0\) casilla en la contabilización de los estados en el\(^3P\) nivel, no afirmamos que en\(|p_1\alpha p_0\beta |\) sí mismo es miembro del\(^3P\) nivel; el estado\(|p_0\alpha p_1\beta| \) del producto bien podría ser eliminado al contabilizar el\(^3P\) estados.

Volviendo al\(p^2\) ejemplo que nos ocupa, después de que se hayan contabilizado los estados del símbolo del\(^3P\) término, el\(M_S\) valor más alto es 0 (de ahí que haya un\(S=0\) estado), y dentro de este\(M_S\) valor, el\(M_L\) valor más alto es 2 (de ahí que haya un\(L=2\) estado). Esto significa que hay un\(^1D\) nivel con cinco estados teniendo\(M_L = 2,1,0,-1,-2\). Al eliminar cinco entradas apropiadas de la casilla anterior (nuevamente denotando eliminaciones en cursiva) se deja la siguiente casilla:

M S M L	2	1	0
1		|p 1 α p 0 α |	|p 1 α p -1 α|
0	|p 1 α p 1 β|	|p 1 α p 0 β |, |p 0 α p 1 β|	|p 1 α p -1 β |, |p -1 αp 1 β|, |p 0 α p 0 β |

La única entrada restante, que por lo tanto tiene los\(M_L\) valores más altos\(M_S\) y, tiene\(M_S = 0\) y\(M_L = 0\). Así también hay un\(^1S\) nivel en la\(p^2\) configuración.

Así, a diferencia del\(3p_14p_1\) caso no equivalente, en el que surgen\(^3P, ^1P, ^3D, ^1D, ^3S,\) y\(^1S\) niveles, sólo los\(^3P, ^1D,\) y\(^1S \) surgen en la\(p^2\) situación. Este “método de caja” es útil para llevar a cabo siempre que se esté tratando con momentos angulares equivalentes.

Si uno tiene momentos angulares mixtos equivalentes y no equivalentes, se pueden determinar todos los acoplamientos posibles del momento angular equivalente usando este método y luego usar el método de acoplamiento vectorial más simple para agregar los momentos angulares no equivalentes a cada uno de estos momentos angulares acoplados. Por ejemplo, la\(p^2d^1\) configuración puede manejarse mediante acoplamiento vectorial (usando el procedimiento directo no equivalente)\(L=2\) (el orbital d) y\(S=\dfrac{1}{2}\) (el espín del tercer electrón) a cada uno de\(^3P, ^1D,\) y\(^1S\) surgiendo de la\(p^2 \) configuración. El resultado es\(^4F, ^4D, ^4P, ^2F, ^2D, ^2P, ^2G, ^2F, ^2D, ^2P, ^2S,\) y\(^2D\).

Colaboradores y Atribuciones

Jack Simons (Henry Eyring Scientist and Professor of Chemistry, U. Utah) Telluride Schools on Theoretical Chemistry

Integrated by Tomoyuki Hayashi (UC Davis)