1.3.9: Calorimetría- Escaneo

Un sistema cerrado dado se prepara usando\(n_{1}\) moles de agua (\(\lambda\)) y\(n_{\mathrm{X}}^0\) moles de soluto\(\mathrm{X}\) a presión\(p\) (\(\cong \mathrm{p}^{0}\), la presión estándar) y temperatura\(\mathrm{T}\). Las propiedades termodinámicas de la solución son ideales de tal manera que, a alguna temperatura baja, la entalpía de la solución\(\mathrm{H}(\mathrm{aq} ; \text { low } \mathrm{T})\) viene dada por la ecuación (a).

\[\mathrm{H}(\mathrm{aq} ; \text { low } \mathrm{T})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{H}_{1}^{*}(\lambda ; \text { low } \mathrm{T})+\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} \, \mathrm{H}_{\mathrm{X}}^{\infty}(\text { aq } ; \text { low } \mathrm{T})\]

La temperatura de la solución se eleva a alta temperatura de tal manera que la solución contiene solo soluto\(\mathrm{Y}\),\(\mathrm{X}\) habiéndose convertido todo soluto en\(\mathrm{Y}\).

\[\mathrm{H}(\mathrm{aq} ; \text { high } \mathrm{T})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{H}_{1}^{*}(\lambda ; \text { high } \mathrm{T})+\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} \, \mathrm{H}_{\mathrm{Y}}^{\infty}(\text { aq; high } \mathrm{T})\]

A temperaturas intermedias, existe un equilibrio químico entre solutos\(\mathrm{X}\) y\(\mathrm{Y}\). A temperatura\(\mathrm{T}\), la composición química de la solución se caracteriza por el grado de reacción\(\xi(\mathrm{T})\).

\ [\ begin {array} {llcc}
&\ mathrm {X} (\ mathrm {aq}) <\ overline {=} &\ mathrm {Y} (\ mathrm {aq}) &\
\ text {A baja}\ mathrm {T} &\ mathrm {n} _ {\ mathrm {X}} ^ {0} & 0 &\ mathrm {~mol}\
\ text {En alto}\ mathrm {T} & 0 &\ mathrm {n} _ {\ mathrm {x}} ^ { 0} &\ mathrm {~mol}\\
\ text {En intermedio}\ mathrm {T} &\ mathrm {n} _ {\ mathrm {X}} ^ {0} -\ xi^ {\ mathrm {eq}} (\ mathrm {T}) &\ xi^ {\ mathrm {eq}} (\ mathrm {T}) &\ mathrm {mol}
\ fin matriz}\]

Para una solución donde las propiedades termodinámicas son ideales, definimos una constante de equilibrio\(\mathrm{K}(\mathrm{T})\), a temperatura\(\mathrm{T}\).

\[\mathrm{K}(\mathrm{T})=\xi^{\mathrm{eq}}(\mathrm{T}) /\left[\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0}-\xi^{\mathrm{eq}}(\mathrm{T})\right]\]

Por definición, el grado de reacción,\(\alpha(T)=\xi^{e q}(T) / n_{x}^{0}\).

\[\mathrm{K}(\mathrm{T})=\alpha(\mathrm{T}) \, \mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} /\left[\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0}-\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} \, \alpha(\mathrm{T})\right]\]

\[\text { Therefore, } \quad \alpha(\mathrm{T})=\mathrm{K}(\mathrm{T}) /[1+\mathrm{K}(\mathrm{T})]\]

A temperatura\(\mathrm{T}\), la entalpía de la solución acuosa viene dada por la ecuación (f) donde\(\mathrm{H}_{1}^{*}(\lambda ; \mathrm{T})\) está la entalpía molar del agua (\(\lambda\)) en la solución acuosa nuevamente asumiendo que las propiedades termodinámicas de la solución son ideales.

\ [\ begin {array} {r}
\ mathrm {H} (\ mathrm {aq};\ mathrm {T}) =\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {H} _ {1} ^ {*} (\ lambda;\ mathrm {T}) +\ mathrm {n} _ _ {\ mathrm {X}} ^ {0}\, [1-\ alpha (\ mathrm {T})]\,\ mathrm {H} _ {\ mathrm {X}} ^ {\ infty} (\ mathrm {aq};\ mathrm {T})\\
+\ mathrm {n} _ {\ mathrm {X}} ^ {0}\,\ alpha (\ mathrm {T}) \,\ mathrm {H} _ {\ mathrm {Y}} ^ {0} (\ mathrm {aq};\ mathrm {T})
\ end {array}\]

La entalpía limitante de la reacción,\(\Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}(\mathrm{aq} ; \mathrm{T})\) viene dada por la ecuación (g).

\[\Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}(\mathrm{aq} ; \mathrm{T})=\mathrm{H}_{\mathrm{Y}}^{\infty}(\mathrm{aq} ; \mathrm{T})-\mathrm{H}_{\mathrm{X}}^{\infty}(\mathrm{aq} ; \mathrm{T})\]

De la ecuación (f),

\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {H} (\ mathrm {aq};\ mathrm {T}) =\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {H} _ {1} ^ {*} (\ lambda;\ mathrm {T}) +\ mathrm {n} _ _ {\ mathrm {X}} ^ {0}\, &\ mathrm {H} _ {\ mathrm {X}} ^ {\ infty} (\ mathrm {aq};\ mathrm {T})\\
&+\ mathrm {n} _ {\ mathrm {x}} ^ {0}\,\ alpha (\ mathrm {T})\,\ Delta_ {\ mathrm {r}}\ mathrm {H} ^ {\ infty} (\ mathrm {aq};\ mathrm {T})
\ final {alineado}\]

Suponemos que\(\Delta_{r} H^{\infty}(\mathrm{aq})\) es independiente de la temperatura. El diferencial de la ecuación (h) con respecto a la temperatura produce la capacidad calorífica isobárica de la solución.

\[\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\mathrm{aq})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{C}_{\mathrm{p} 1}^{*}(\lambda)+\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} \, \mathrm{C}_{\mathrm{pX}}^{\infty}(\mathrm{aq}) +\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} \, \Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}(\mathrm{aq}) \, \mathrm{d} \alpha / \mathrm{dT}\]

El término\((\mathrm{d} \alpha / \mathrm{dT})\) señala la contribución del cambio de composición con la temperatura a la capacidad calorífica isobárica del sistema, la capacidad calorífica isobárica 'relajacional'\(\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\text {relax})\).

Así

\[\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\text { relax })=\mathrm{n}_{\mathrm{X}}^{0} \, \Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}(\mathrm{aq}) \, \mathrm{d} \alpha / \mathrm{dT}\]

\[\text { From equation (e)[1] } \frac{\mathrm{d} \alpha(\mathrm{T})}{\mathrm{dT}}=\frac{\mathrm{K}(\mathrm{T})}{[1+\mathrm{K}(\mathrm{T})]^{2}} \, \frac{\mathrm{d} \ln [\mathrm{K}(\mathrm{T})]}{\mathrm{dT}}\]

Pero según la ecuación de van 't Hoff,

\[\frac{\mathrm{d} \ln \mathrm{K}(\mathrm{T})}{\mathrm{dT}}=\frac{\Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}}{\mathrm{R} \, \mathrm{T}^{2}}\]

\[\text { Hence [2], } \mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\text { relax })=\mathrm{n}_{\mathrm{x}}^{0} \, \frac{\left[\Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}(\mathrm{aq})\right]^{2}}{\mathrm{R} \, \mathrm{T}^{2}} \, \frac{\mathrm{K}(\mathrm{T})}{[1+\mathrm{K}(\mathrm{T})]^{2}}\]

La contribución a la capacidad calorífica isobárica molar del sistema a partir del cambio en la composición de la solución viene dada por la ecuación (n).

\[C_{p m}(\text { relax })=\frac{\left[\Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{H}^{\infty}(\mathrm{aq})\right]^{2}}{\mathrm{R} \, \mathrm{T}^{2}} \, \frac{\mathrm{K}(\mathrm{T})}{[1+\mathrm{K}(\mathrm{T})]^{2}}\]

La dependencia de\(C_{p m}(\text {relax})\) la temperatura tiene las siguientes características.

1. La trama forma una curva en forma de campana tal que a temperaturas muy bajas y muy altas,\((C_{p m}(\text {relax})\) es cero [3-5].
2. \((C_{p m}(\text {max})\)ocurre a la temperatura\(\mathrm{T}_{m}\).
3. El área bajo la 'campana' equivale a la entalpía de reacción [6,7]. Un calorímetro de barrido está diseñado para elevar la temperatura de una muestra (solución) de manera controlada. El calorímetro utiliza calentamiento eléctrico controlado mientras monitorea las temperaturas de una celda de muestra y una celda de referencia que contiene solo solvente. Si la capacidad calorífica de la celda que contiene la muestra bajo investigación comienza a aumentar el calorímetro registra el hecho de que se requiere más energía eléctrica para elevar la temperatura de la celda de muestra por decir\(0.1 \mathrm{~K}\) que la requerida por la referencia.

Las estructuras terciarias de las enzimas en solución acuosa son muy sensibles a la temperatura. En el caso general, una enzima cambia de, digamos, forma activa a inactiva a medida que aumenta la temperatura; es decir, la enzima se desnaturaliza. El cambio de forma activa a inactiva se caracteriza por una 'temperatura de fusión'. La explicación se centra en el papel de las interacciones hidrofóbicas en la estabilización de la estructura de la forma activa. Sin embargo, la fuerza de la unión hidrófoba es muy sensible a la temperatura. De ahí que la ecuación (n) forme la base de una importante aplicación de los modernos calorímetros diferenciales de barrido [3] en la reorganización estructural en biopolímeros al cambiar la temperatura [4-7]. Las exploraciones también pueden identificar dominios dentro de un biopolímero dado que experimentan transiciones estructurales a diferentes temperaturas [8].

De hecho, hay evidencia de que una enzima dada se caracteriza por un rango de temperatura dentro del cual la forma activa es estable. Fuera de este rango, tanto a temperaturas bajas como altas la forma activa no es estable. En otras palabras, la estructura de una enzima puede cambiar a una forma inactiva al bajar la temperatura [9,10]. El patrón se puede entender en términos de la\(\left[\mu_{\mathrm{j}}^{0} / \mathrm{T}\right]\) dependencia de la temperatura donde\(\left[\mu_{\mathrm{j}}^{0}\) se encuentran los potenciales químicos de referencia para el soluto\(j\). En este caso consideramos el caso donde a su vez el soluto j representa las formas activa e inactiva de la enzima. Existe una fuerte posibilidad de que las parcelas de dos dependencias se crucen a dos temperaturas. La forma activa es estable en la ventana entre las dos temperaturas.

El análisis que conduce a la ecuación (n) se extiende fácilmente a sistemas que involucran equilibrios acoplados [11,12]. El impacto de los cambios en la composición es también una consideración importante en el análisis de la dependencia de la temperatura de las propiedades de los ácidos débiles en solución [13- 15].

Notas al pie

[1]\ (\ begin {aligned}
\ frac {\ mathrm {d}\ alpha} {\ mathrm {dT}} =\ left [\ frac {1} {1+\ mathrm {K}}\ right. &\ izquierda. -\ frac {1} {(1+\ mathrm {K}) ^ {2}}\ derecha]\,\ frac {\ mathrm {dK}} {\ mathrm {dT}} =\ izquierda [\ frac {1+\ mathrm {K} -\ mathrm {K}} {(1+\ mathrm {K}) ^ {2}}\ derecha]\,\ frac\ mathrm {dK}} {\ mathrm {dT}} =\ izquierda [\ frac {1} {(1+\ mathrm {K}) ^ {2}}\ derecha]\,\ frac {\ mathrm {dK}} {\ mathrm {dT}}\\
&=\ izquierda [\ frac {\ mathrm {K}} {(1+\ mathrm {K}) ^ {^} }\ derecha]\,\ frac {\ mathrm {d}\ ln\ mathrm {K}} {\ mathrm {dT}}
\ end {alineado}\)

[2]\(\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\text { relax })=[\mathrm{mol}] \, \frac{\left[\mathrm{J} \mathrm{mol}^{-1}\right]^{2}}{\left[\mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}\right] \,[\mathrm{K}]^{2}} \, \frac{[1]}{[1]}=\left[\mathrm{J} \mathrm{K}^{-1}\right]\)

[3] V. V. Plotnikov, J. M. Brandts, L-V. Lin y J. F. Brandts, Anal. Biochem.,1997, 250 ,237.

[4] C. O.Pabo, R. T. Sauer, J. M. Sturtevant y M. Ptashne, Proc. Natl. Acad.Sci. USA,1979, 76 ,1608.

[5] S. Mabrey y J. M. Sturtevant, Proc. Natl. Acad.Sci. USA,1976, 73 ,3802.

[6] T. Ackerman, Angew. Chem. Int.Ed. Engl.,1989, 28 ,981.

[7] J. M. Sturtevant, Annú. Rev.Phys.Chem.,1987, 38 ,463.

[8] M. J. Blandamer, B. Briggs, P. M. Cullis, A. P Jackson, A. Maxwell y R. J. Reece, Bioquímica, 1994, 33 ,7510.

[9] F. Franks, R. M. Hately y H. L. Friedman, Biophys.Chem.,1988, 31 ,307.

[10] F. Franks y T. Wakabashi, Z. Phys. Chem., 1987, 155 ,171.

[11] M. J. Blandamer, B. Briggs, J. Burgess y P. M. Cullis, J. Chem. Soc. Faraday Trans.,1990, 86 ,1437.

[12] G. J. Mania, J. W. Larson y L. G. Hepler, J. Phys Chem.,1984, 88 ,1257.

[13] J. K. Hovey y L.G. Hepler, J. Chem. Soc. Faraday Trans.,1990, 86 ,2831.

[14] E. M. Woolley y L. G. Hepler, Can. J.Chem.,1977, 55 ,158.

[15] J. K. Hovey y L.G. Hepler, J. Phys. Chem.,1990, 94 ,7821.