1.7.16: Compresiones- Isentrópica e Isotérmica- Volumen Molar Aparente

Una solución dada es perturbada por un cambio en la presión a un estado vecino con afinidad constante,\(\mathrm{A}\).

\[(\partial \mathrm{V} / \partial \mathrm{p})_{\mathrm{s}}=(\partial \mathrm{V} / \partial \mathrm{p})_{\mathrm{T}}-(\partial \mathrm{S} / \partial \mathrm{p})_{\mathrm{T}} \,(\partial \mathrm{T} / \partial \mathrm{S})_{\mathrm{p}} \,(\partial \mathrm{V} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{p}}\]

Pero para el disolvente puro (a afinidad constante\(\mathrm{A}\)) S * 1 * S1 K (l) = − (V (l)/p) y T * 1 * T1 K (l) = − (V (l)/p) (b)

Confinamos la atención a la perturbación en '\(\mathrm{A} = 0\)'; es decir, un proceso de equilibrio. [Anote el cambio en el signo.]

\[\mathrm{K}_{\mathrm{s} 1}^{*}(\ell)=\mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)+\left(\partial \mathrm{S}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{p}\right)_{\mathrm{T}} \,\left(\partial \mathrm{T} / \partial \mathrm{S}_{1}^{*}(\ell)\right)_{\mathrm{p}} \,\left(\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{T}\right)_{\mathrm{p}}\]

A partir de una ecuación de Maxwell,

\[\left(\partial \mathrm{S}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{p}\right)_{\mathrm{T}}=-\left(\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{T}\right)_{\mathrm{p}}\]

De la ecuación de Gibbs-Helmholtz,

\[\left(\partial \mathrm{S}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{T}\right)_{\mathrm{p}}=\mathrm{C}_{\mathrm{p} 1}^{*}(\ell) / \mathrm{T}\]

\(C_{p 1}^{*}(\ell)\)es la capacidad calorífica isobárica molar (equilibrio) del disolvente en\(\mathrm{T}\) y\(\mathrm{p}\). De la ecuación (c), [Nota cambio de signo.]

\[\mathrm{K}_{\mathrm{S} 1}^{*}(\ell)=\mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)-\left[\left(\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{T}\right)_{\mathrm{p}}\right]^{2} \, \mathrm{T} / \mathrm{C}_{\mathrm{p} 1}^{*}(\ell)\]

Pero

\[\alpha_{1}^{*}(\ell) \, V_{1}^{*}(\ell)=\left(\partial V_{1}^{*}(\ell) / \partial T\right)_{p}\]

\[\mathrm{K}_{\mathrm{S} 1}^{*}(\ell)=\mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)-\left[\alpha_{1}^{*}(\ell) \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)\right]^{2} \, \mathrm{T} / \mathrm{C}_{\mathrm{p} 1}^{*}(\ell)\]

Pero la relación entre la capacidad calorífica isobárica del disolvente y su volumen molar,

\[\mathrm{C}_{\mathrm{p} 1}^{*}(\ell) / \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)=\sigma_{1}^{*}(\ell) .\]

\[\left.\mathrm{K}_{\mathrm{s} 1}^{*}(\ell)=\mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)-\left[\alpha_{1}^{*}(\ell)\right]^{2} \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)\right] \, \mathrm{T} / \sigma_{1}^{*}(\ell)\]

Pero

\[\kappa_{\mathrm{s} 1}^{*}(\ell)=\left[\mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)\right]^{-1} \, \mathrm{K}_{\mathrm{S} 1}^{*}(\ell) \text { and } \kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\mathrm{l})=\left[\mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)\right]^{-1} \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\]

\[\kappa_{\mathrm{S} 1}^{*}(\ell)=\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)-\left[\alpha_{1}^{*}(\ell)\right]^{2} \, \mathrm{T} / \sigma_{1}^{*}(\ell)\]

De manera similar para una solución acuosa, molalidad\(\mathrm{m}_{j}\),

\[\kappa_{\mathrm{S}}(\mathrm{aq})=\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-[\alpha(\mathrm{aq})]^{2} \, \mathrm{T} / \sigma(\mathrm{aq})\]

También

\[\mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)+\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\]

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\left(\mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right)^{-1} \,\left\{\mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\right]\]

Convertimos de compresiones a compresibilidades.

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\left(\mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right)^{-1} \,\left\{\mathrm{V}(\mathrm{aq}) \, \kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{V}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell) \, \kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\right]\]

Pero sabemos\(\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})\) en términos de)\(\kappa_{\mathrm{S}}(\mathrm{aq})\) (aq [ver ecuación (m)] y\(\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\) en términos de\(\kappa_{\mathrm{s} 1}^{*}(\ell)\). Entonces [NB cambio de signo]

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ frac {\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]\,\ izquierda [\ mathrm {K} {\ mathrm {S}} (\ mathrm {aq}) +\ frac {\ {\ alpha (\ mathrm {aq})\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\\
&- izquierda [\ frac { \ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {Sl}} ^ {*} (\ ell) +\ frac {\ izquierda\ {\ alpha_ {1} ^ {} (\ ell)\ derecha\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ sigma_ {1} ^ {*} (\ ell)}\ derecho]
\ final {alineado}\]

Introducimos densidades en la ecuación (q). Para una solución que tenga masa\(\mathrm{w}\),

\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})/\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}} &=\ left [1/\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\ derecha]\, [\ mathrm {w}/\ rho (\ mathrm {aq})] =\ izquierda [1/\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})\ derecha]\,\ izquierda [\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}} +\ mathrm {n} _ _ {1}\,\ mathrm {M} _ {1}\ derecha]\\
&=\ izquierda [1/\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})\ derecha] +\ izquierda [\ mathrm {M} _ _ {\ mathrm {j}}/\ rho (\ mathrm {aq})\ derecha]
\ end {alineado}\]

También,

\[\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) / \mathrm{n}_{\mathrm{j}}=\left[\mathrm{n}_{1} / \mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right] \,\left[\mathrm{M}_{1} / \rho_{1}^{*}(\ell)\right]=\left[\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho_{1}^{*}(\ell)\right]^{-1}\]

De las ecuaciones (q), (r) y (s),

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {Tj}}\ derecha) =\ izquierda [\ frac {1} {\ mathrm {~m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})} +\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}\ rho (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {s}} (\ mathrm {aq}) +\ frac {\ {\ alpha (\ mathrm {aq})\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\\
&-\ izquierda [\ frac {1} {\ mathrm {~m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)}\ derecha]\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {s} 1} ^ {*} (\ ell) +\ frac {\ izquierda\ {\ alpha_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ sigma_ {1} ^ {*} (\ ell)}\ derecho]
\ end {alineado}\]

Nosotros facetamos los seis términos. El orden en que escribimos estos términos anticipa el siguiente pero un paso.

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ frac {\ kappa_ {\ mathrm {s}} (\ mathrm {aq})} {\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j} aq})}\ derecha] -\ izquierda [\ frac {\ kappa_ {\ mathrm {Sl}} ^ {*} (\ ell)} {\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)}\ derecha] +\ izquierda [\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}\,\ kappa_ {\ mathrm {s}} (\ mathrm {aq})} {\ rho (\ mathrm {aq})}\ derecha]\\
&+\ izquierda [\ frac {\ {\ alpha (\ mathrm {aq})\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ mathrm {m} _ {\ mathrm rm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})\,\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\\
&- izquierda [\ frac {\ izquierda\ {\ alpha_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ sigma_ {1} ^ {*} (\ ell)}\ derecha] +\ izquierda [\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}\,\ {\ alpha (\ mathrm {q})\} ^ {2}\,\ mathrm {T}} {\ rho (\ mathrm {aq})\,\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]
\ final {alineado}\]

Por lo tanto,

\ [\ begin {reunió}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda\ {\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha\} ^ {^ -1}\,\ left [\ left\ {\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {s}} (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha\} -\ izquierda\ {\ kappa_ {\ mathrm {s} 1} ^ {*} (\ ell)\,\ rho (\ mathrm {aq })\ derecha\}\ derecha]\\
+\ izquierda\ {\ kappa_ {\ mathrm {S}} (\ mathrm {aq})\,\ mathrm {M} _ _ {\ mathrm {j}}/\ rho (\ mathrm {aq}) +\ mathrm {A} +\ mathrm {B}\ derecha.
\ end {reunido}\]

donde,

\[\mathrm{A}=\left[\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho(\mathrm{aq}) \, \rho_{1}^{*}(\ell)}\right] \,\left[\left(\frac{\{\alpha(\mathrm{aq})\}^{2} \, \rho_{1}^{*}(\ell)}{\sigma(\mathrm{aq})}\right)-\left(\frac{\left\{\alpha_{1}^{*}(\ell) \, \rho(\mathrm{aq})\right.}{\sigma_{1}^{*}(\ell)}\right)\right]\]

y

\[\mathrm{B}=\mathrm{M}_{\mathrm{j}} \,\{\alpha(\mathrm{aq})\}^{2} \, \mathrm{T} / \rho(\mathrm{aq}) \, \sigma(\mathrm{aq})\]

Con referencia a las soluciones, comparamos las dependencias isentrópicas e isotérmicas de\(\phi\left(V_{j}\right)\) la presión.

\[\left[\frac{\partial \phi\left(V_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{p}}\right]_{\mathrm{S}(\mathrm{aq})}=\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{p}}\right]_{\mathrm{T}}-\left[\frac{\partial \mathrm{S}(\mathrm{aq})}{\partial \mathrm{p}}\right]_{\mathrm{T}} \,\left[\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{S}(\mathrm{aq})}\right]_{\mathrm{p}} \,\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}\]

Señalando los signos [cf. ecuaciones d) y e)] y la definición de\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\),

\[\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{p}}\right]_{\mathrm{S}(\mathrm{aq})}=-\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}_{\mathrm{j}}}\right)-\left[-\left[\frac{\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq})}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}\right] \,\left[\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\mathrm{aq})}\right] \,\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}\]

\[\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{p}}\right]_{\mathrm{S}(\mathrm{aq})}=\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}\right)-\left[\frac{\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq})}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}} \,\left[\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\mathrm{aq})}\right] \,\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}\]

Nos dirigimos nuestra atención a\(\left[\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right) / \partial \mathrm{T}\right]_{\mathrm{p}}\). Recordamos que

\[\mathrm{V}(\mathrm{aq})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)+\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

\[\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)=\left(1 / \mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right) \, \mathrm{V}(\mathrm{aq})-\left[\left(\mathrm{n}_{1} / \mathrm{n}_{\mathrm{j}}\right) \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)\right]\]

De ahí

\[\left[\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{n}_{\mathrm{j}}} \,\left[\frac{\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq})}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}-\frac{\mathrm{n}_{1}}{\mathrm{n}_{\mathrm{j}}} \,\left[\frac{\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)}{\partial \mathrm{T}}\right]_{\mathrm{p}}\]

Combinamos las ecuaciones (za) y (zd). De ahí

\ [\ begin {alineado}
&-\ izquierda [\ frac {\ parcial\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ {\ mathrm {j}}\ derecha)} {\ parcial\ mathrm {p}}\ derecha] _ {\ mathrm {S} (\ mathrm {aq})} =\\
&\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ izquierda. \ mathrm {T} _ {\ mathrm {j}}\ derecho)}\ derecho. \\
&-\ izquierda [\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})} {\ parcial\ mathrm {T}}\ derecha] _ {\ mathrm {p}}\ derecha] _ {\ mathrm {T}}\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {C} _ {\ mathrm {p}} (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ frac {1} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\,\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})} {\ parcial\ mathrm {T}}\ derecha] _ {\ mathrm {p}} -\ frac {\ mathrm {n} _ {1}} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\,\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)} {\ parcial\ mathrm {T}}\ derecha] _ {\ mathrm {p}}\ derecha]
\ final {alineado}\]

O,

\ [\ begin {alineado}
-\ izquierda [\ frac {\ parcial\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)} {\ parcial\ mathrm {p}] _ {\ mathrm {S} (\ mathrm {aq})}\ derecha] =\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {T} _ _\ mathrm {j}}}\ derecha)\\
&- izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {C} _ _ {\ mathrm {p}} (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ frac {1} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\,\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})} {\ parcial\ mathrm {T}}\ derecha] _ {\ mathrm {p}} ^ {2}\\
&+\ izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {C} _\ mathrm {p}} (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {n} _ {1}} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\,\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})} {\ parcial\ mathrm {T}}\ derecha] _ {\ mathrm {p}}\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)} {\ parcial\ mathrm {T}}\ derecha] _ {\ mathrm {p}}\ derecha]
\ final {alineado}\]

Pero

\[\alpha(\mathrm{aq}) \, \mathrm{V}(\mathrm{aq})=[\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq}) / \partial \mathrm{T}]_{\mathrm{p}}\]

Y

\[\alpha_{1}^{*}(\ell) \, V_{1}^{*}(\ell)=\left[\partial V_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{T}\right]_{\mathrm{p}}\]

Introducimos las dos últimas ecuaciones en la ecuación (zf).

\ [\ begin {alineado}
{\ left [\ frac {\ parcial\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)} {\ parcial\ mathrm {p}}\ derecha] _ {\ mathrm {S} (\ mathrm {aq})}} &=\ phi\ left (\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T} {\ mathrm {j}}\ derecha)\\
&- izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {C} _ _ {\ mathrm {p}} (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ frac {1} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\, [\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})\,\ alpha (\ mathrm {aq})] ^ {2}\\
&+\ left [\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {C} _ {\ mathrm {p}} (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {n} _ {1}} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]\,\ izquierda [\ alpha (\ mathrm {aq})\,\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})\,\ alpha_ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha]
\ final {alineado}\]

Pero\(\sigma(\mathrm{aq})=\mathrm{C}_{\mathrm{p}}(\mathrm{aq}) / \mathrm{V}(\mathrm{aq})\) y\(\sigma_{1}^{*}(\ell)=\mathrm{C}_{\mathrm{p} 1}^{*}(\ell) / \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)\). También\(\mathrm{M}_{1} / \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)=\rho_{1}^{*}(\ell)\). Por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
-\ izquierda [\ frac {\ parcial\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)} {\ parcial\ mathrm {p}}\ derecha] _ {\ mathrm {S} (\ mathrm {aq})} &=\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T} _\ mathrm {j}}}\ derecha)\\
-& {\ izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ frac {1} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\,\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})\, [\ alpha (\ mathrm {aq})] ^ {2}}\\
&+\ izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {n} _ {1}} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]\,\ izquierda [\ alpha (\ mathrm {aq})\,\ alpha_ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {M} _ {1}/\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecho]
\ end {alineado}\]

También,\(\mathrm{n}_{\mathrm{j}} / \mathrm{n}_{1} \, \mathrm{M}_{1}=\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\). Y [2]\(\mathrm{V}(\mathrm{aq}) / \mathrm{n}_{\mathrm{j}}=\left[1 / \mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho(\mathrm{aq})\right]+\left[\mathrm{M}_{\mathrm{j}} / \rho(\mathrm{aq})\right]\)

De ahí que se obtenga una relación entre las dos compresiones de los volúmenes molares aparentes

\ [\ begin {alineado}
-\ izquierda [\ frac {\ parcial\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)} {\ parcial\ mathrm {p}}\ derecha] _ {\ mathrm {S} (\ mathrm {aq})} &=\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T} _\ mathrm {j}}}\ derecha)\\
-\ izquierda [\ frac {\ mathrm {T}} {\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ frac {1} {\ mathrm {~m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})} +\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}} {\ rho (\ mathrm {aq})}\ derecha]\, [\ alpha (\ mathrm {aq})] ^ {2}\\
&+\ izquierda [\ frac {\ mathrm {T}}\ sigma (\ mathrm {aq})}\ derecha]\,\ izquierda [\ frac {1} {\ mathrm {~m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)}\ derecha]\,\ alpha (\ mathrm {aq})\,\ alpha_ {1} ^ {*} (\ ell)
\ end {alineado}\]

Notas al pie

[1] Comprobación unitaria de la ecuación (l). \(\left.\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]^{-1}=\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]^{-1}-\left\{\left[\mathrm{K}^{-1}\right]^{2} \,[\mathrm{K}]\right\} /\left[\mathrm{J} \mathrm{K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}\right] \,\left[\mathrm{m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\right]^{-1}\right\}\)
\(\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]^{-1}=\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]^{-1}-\left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right]^{-1}\)Pero\(\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]=\left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right]\)

[2] De
\ (\ comenzar {alineado}
&V (a q) =\ frac {w} {\ rho (a q)} =\ frac {n_ {1}\, M_ {1}} {\ rho (a q)} +\ frac {n_ {j}\, M_ {j}} {\ rho (a q)}\\
&\ frac {V (a q)} {n_ {j}} =\ frac {n_ {1}\, M_ {1}} {n_ {j}\,\ rho (a q)} +\ frac {M_ {j}} {\ rho (a q)}\\
&\ frac {V (a q)} {n_ {j}} =\ frac {1} {m_ {j}\,\ rho (a q)} +\ frac {M_ {j}} {\ rho (a q)}
\ end {alineado}\)