1.7.19: Compresiones- Isotérmicas- Soluciones- Molares Aparentes- Determinación

Una solución dada (a fijo\(\mathrm{T}\) y\(\mathrm{p}\)) se prepara usando\(1 \mathrm{~kg}\) agua solvente y\(\mathrm{m}_{j}\) moles de soluto\(j\). La compresión de esta solución\(\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{aq} ; \mathrm{w}_{1}=1 \mathrm{~kg}\right)\) viene dada por las ecuaciones (a) y (b).

\[\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{aq} ; \mathrm{w}_{1}=1 \mathrm{~kg}\right)=\mathrm{M}_{1}^{-1} \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)+\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\]

\[\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{aq} ; \mathrm{w}_{1}=1 \mathrm{~kg}\right)=\mathrm{M}_{1}^{-1} \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}(\mathrm{aq})+\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}(\mathrm{aq})\]

donde,

\[\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}(\mathrm{aq})=-\left(\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{j}}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{T}}\]

y

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=-\left(\frac{\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{T}}\]

Ambos\(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}(\mathrm{aq})\) y\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}^{\mathrm{j}}}\right)\) son variables lewisianas. Con referencia a los volúmenes molares parciales,

\[\operatorname{limit}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \rightarrow 0\right) \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)=\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)^{\infty}=\mathrm{V}_{\mathrm{j}}^{\infty}(\mathrm{aq})\]

De ahí

\[\operatorname{limit}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \rightarrow 0\right) \phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)^{\infty}=\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}^{\infty}(\mathrm{aq})\]

\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)^{\infty}\)es la compresión molar aparente limitante (dilución infinita) del soluto—\(j\). Para una solución dada\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\) se calcula utilizando una de las siguientes ecuaciones junto con las compresiones isotérmicas de solución y disolvente [1-3].

Escala de Molalidad

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\left[\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho_{1}^{*}(\ell)\right]^{-1} \,\left[\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\right]+\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq}) \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

\ [\ begin {reunió}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\,\ rho (\ mathrm {aq})\ derecha]\\
+\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}\, [\ rho (\ mathrm {aq})] ^ {-1}
\ final {reunido}\]

Escala de Concentración

\ [\ begin {reunió}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {TJ}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {c} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\,\ rho (\ mathrm {aq})\ derecha]\
+\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell) \,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}/\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)
\ end {reunidos}\]

También

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\left[\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\right]^{-1} \,\left[\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\kappa_{\mathrm{Tl}}^{*}(\ell)\right]+\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell) \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

Estas últimas cuatro ecuaciones son termodinámicamente correctas, no se hace ninguna suposición en su derivación.

En 1933, Gucker revisó la determinación directa de compresibilidades de soluciones que conducen a compresiones molares aparentes de solutos en solución acuosa calculadas usando la ecuación (k) [4-6].

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\frac{\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})}{\rho(\mathrm{aq})} \,\left[\frac{1}{\mathrm{~m}_{\mathrm{j}}}+\mathrm{M}_{\mathrm{j}}\right]-\frac{\kappa_{1}^{*}(\ell)}{\rho_{1}^{*}(\ell)} \, \frac{1}{\mathrm{~m}_{\mathrm{j}}}\]

Las compresibilidades de las soluciones se determinaron directamente midiendo la sensibilidad de\(\mathrm{V}(\mathrm{aq})\) a un aumento en la presión. Gucker demostró que para soluciones salinas acuosas,\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\) es negativo y una función lineal de\(\left(\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\right)^{1 / 2}\). Además, el valor limitante,\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)^{\infty}\) es una propiedad aditiva de\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}}-1 \mathrm{ion}\right)^{\infty}\)

Una aproximación útil es que para soluciones diluidas a constante\(\mathrm{T}\) y\(\mathrm{p}\) que contienen un soluto neutro\(j\),\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\) es función lineal de la molaridad\(\mathrm{m}_{j}\).

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\mathrm{e} \, \mathrm{m}_{\mathrm{j}}+\mathrm{f}\]

Por lo tanto,

\[\operatorname{limit}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \rightarrow 0\right) \mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}(\mathrm{aq})=\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}^{\infty}(\mathrm{aq})=\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)^{\infty}\]

Identificamos 'f' en la ecuación (l) como la compresión isotérmica molar aparente limitante del soluto\(j\) en solución (en equilibrio).

Notas al pie

[1]\(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}\right)=\left[\mathrm{m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~Pa}^{-1}\right] ; \mathrm{K}_{\mathrm{Tl}}^{*}=\left[\mathrm{m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~Pa}^{-1}\right]\);\(\mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})=\left[\mathrm{m}^{3} \mathrm{~Pa}^{-1}\right]\)

Para la solución,\(\kappa_{\mathrm{T}}=\mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq}) / \mathrm{V}(\mathrm{aq})=\left[\mathrm{Pa}^{-1}\right]\)

Para el disolvente,\(\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)=\mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell) / \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)=\left[\mathrm{Pa}^{-1}\right]\)

[2] Las compresiones isotérmicas tienen unidades de 'volumen por unidad de presión' mientras que las compresibilidades tienen unidades de 'presión recíproca'. \(\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\)es una aparente compresión isotérmica molar con el argumento de que las unidades de esta propiedad son\(\left[\mathrm{m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~Pa}^{-1}\right]\). Algunos reportes utilizan el término “aparente compresión isotérmica molar”.

[3] Para una solución acuosa a temperatura y presión fijas preparada con\(\mathrm{n}_{1}\) moles de agua y\(\mathrm{n}_{j}\) moles de soluto\(j\),

\[\mathrm{V}(\mathrm{aq})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)+\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\]

Por lo tanto, con respecto a un desplazamiento de equilibrio (es decir, at\(\mathrm{A} = 0\)) a temperatura definida,

\[(\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq}) / \partial \mathrm{p})_{\mathrm{T}}=\mathrm{n}_{1} \,\left(\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{p}\right)_{\mathrm{T}}+\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \,\left(\partial \phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right) / \partial \mathrm{p}\right)_{\mathrm{T}}\]

De ahí

\[(\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq}) / \partial \rho)_{\mathrm{T}}=\mathrm{n}_{1} \,\left(\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) / \partial \mathrm{p}\right)_{\mathrm{T}}-\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\]

Para la solución la compresibilidad isotérmica (equilibrio),

\[\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})=-\frac{1}{\mathrm{~V}(\mathrm{aq})} \,\left(\frac{\partial \mathrm{V}(\mathrm{aq})}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{T}}\]

Del mismo modo para el disolvente puro,

\[\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)=-\frac{1}{\mathrm{~V}_{1}^{*}(\ell)} \,\left(\frac{\partial \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{T}}\]

De ahí que a partir de la ecuación (c)

\[\mathrm{V}(\mathrm{aq}) \, \mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)+\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}\right)\]

Usamos la ecuación (as) para\(\mathrm{V}(\mathrm{aq})\) en conjunción con la ecuación (f).

\ [\ begin {alineado}
\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ left [\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell) +\ mathrm {n} _ _ {\ mathrm {j}}\,\ phi\ left (\ mathrm {V} _ _ {mathrm {j}}\ derecha)\ derecha] =\\
\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell) +\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j} }\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha)
\ final {alineado}\]

\ [\ begin {alineado}
&\ phi\ left (\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T}\ mathrm {j}}\ derecha) =\\
& {\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ mathrm {n} _ {1} _ {1} _ {*} (\ ell)\ derecha]/\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}} -\ izquierda [\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)/\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\ derecha] +\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)\,\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})}
\ end {alineado}\]

Pero,\(\mathrm{V}_{1}^{*}(\ell)=\mathrm{M}_{1} / \rho_{1}^{*}(\ell)\) entonces,

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq}) \, \frac{\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{M}_{1}}{\rho_{1}^{*}(\ell) \, \mathrm{n}_{\mathrm{j}}}-\frac{\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{M}_{1}}{\rho_{1}^{*}(\ell) \, \mathrm{n}_{\mathrm{j}}} \, \mathrm{K}_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)+\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right) \, \mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})\]

Molalidad\ (\ begin {alineada}
&\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}} =\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}/\ mathrm {n} _ {\ mathrm {l}}\,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {l}}\\
&\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {Tj}}\ derecha) =\ frac {\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})} {\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)} -\ frac {\ kappa_ { \ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)} {\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}} +\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)\,\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})
\ end {alineado}\)

O,

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{TJ}}\right)=\left[\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho_{1}^{*}(\ell)\right]^{-1} \,\left[\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\right]+\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right) \, \kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})\]

Utilizando de nuevo la ecuación a) para sustituir\(\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right)\),

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\, & {\ izquierda [\ kappa_ {mathrm {T}} (\ mathrm {aq}) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\ derecha]}\\
&+\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {V} (\ mathrm {aq}) -\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {V} _ {1} ^ {*} (\ ell)} {\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]
\ final {alineado}\]

Con\(\mathrm{c}_{\mathrm{j}}=\mathrm{n}_{\mathrm{j}} / \mathrm{V}(\mathrm{aq})\),

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq}) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\ derecha]\\
&+\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ izquierda [\ frac {1} {\ mathrm {c } _ {\ mathrm {j}}} -\ frac {\ mathrm {n} _ {1}\,\ mathrm {M} _ {1}} {\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]
\ final {alineado}\]

Pero\(\frac{1}{c_{j}}=\frac{M_{j}}{\rho(a q)}+\frac{1}{m_{j} \, \rho(a q)}\) por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq}) -\ kappa_ {\ mathrm {Tl}} ^ {*} (\ ell)\ derecha]\\
&+\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {M} _ _ {\ mathrm {j}}} {\ rho (\ mathrm {aq})} +\ frac {1} {\ mathrm {~m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})} -\ frac {\ mathrm {n} _ _ {1}\,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {1}} {\ _ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha]
\ final {alineado}\]

\ [\ begin {reunió}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {m} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\,\ rho (\ mathrm {aq})\ derecha]\\
+\ frac {\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})\,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}} {\ rho (\ mathrm {aq})}
\ end {reunidos}\]

Comenzamos con la ecuación (f).

\[\mathrm{V}(\mathrm{aq}) \, \mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})=\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) \, \kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)+\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)\]

Masa de solución,

\[V(a q) \, \rho(a q)=n_{1} \, M_{1}+n_{j} \, M_{j}\]

O,

\[\mathrm{n}_{1}=\left[\mathrm{V}(\mathrm{aq}) \, \rho(\mathrm{aq})-\mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{M}_{\mathrm{j}}\right] / \mathrm{M}_{1}\]

Combinamos las ecuaciones (f) y (q).

\ [\ begin {alineado}
&\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})\,\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq}) =\\
&\ quad\ mathrm {V} _ _ {1} ^ {*} (\ ell)\,\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\,\ izquierda [\ frac {\ mathrm {V} (\ mathrm {aq})\,\ rho (\ mathrm {aq}) -\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}} {\ mathrm {M} _ {1}} \ derecha] +\ mathrm {n} _ {\ mathrm {j}}\,\ phi\ izquierda (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {T} _ _ {\ mathrm {j}}}\ derecha)
\ final {alineado}\]

Con\(c_{j}=n_{j} / V(a q)\)

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\frac{\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})}{\mathrm{c}_{\mathrm{j}}}-\frac{\mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) \, \kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell) \, \rho(\mathrm{aq})}{\mathrm{c}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{M}_{1}}+\frac{\mathrm{V}_{1}^{*}(\ell) \, \kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell) \, \mathrm{M}_{\mathrm{j}}}{\mathrm{M}_{1}}\]

Por lo tanto,

\ [\ begin {array} {r}
\ phi\ left (\ mathrm {K} _ {\ mathrm {Tj}}\ derecha) =\ izquierda [\ mathrm {c} _ {\ mathrm {j}}\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T} (\ mathrm {aq})\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\,\ rho (\ mathrm {aq})\ derecho]\
+\ kappa_ {\ mathrm {Tl}} ^ {*} (\ ell)\ ,\ mathrm {M} _ {\ mathrm {j}}/\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)
\ end {array}\]

De nuevo a partir de la ecuación (j)

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\left[\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho_{1}^{*}(\ell)\right]^{-1} \,\left[\mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\right]+\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right) \, \kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})\]

Por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
&\ phi\ left (\ mathrm {K} _ _ {\ mathrm {T} _ {\ mathrm {j}}}\ derecha) =\\
& {\ izquierda [\ frac {\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)} {\ mathrm {c} _ _ {\ mathrm {j}}} -\ phi\ izquierda (\ mathrm {c} _ {\ mathrm {j}} -\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ {\ mathrm {j}}\ derecha)\,\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha]\,\ izquierda [\ rho_ {1} ^ {*} (\ ell)\ derecha] ^ {-1}\,\ izquierda [\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq}) -\ kappa_ {\ mathrm {T} 1} ^ {*} (\ ell)\ derecha]}\\
&\ quad+\ phi\ izquierda (\ mathrm {V} _ _ {\ mathrm {j}}\ derecha)\,\ kappa_ {\ mathrm {T}} (\ mathrm {aq})
\ end {alineado}\]

O

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{Tj}}\right)=\left[\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\right]^{-1} \,\left[\mathrm{K}_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})-\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\right]+\phi\left(\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\right) \, \kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell)\]

[4] F. T. Gucker, J.Am.Chem.Soc.,1933, 55 ,2709.

[5] F. T. Gucker, Chem. Rev.,1933, 13 ,111.

[6] De la ecuación (h),

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}_{\mathrm{j}}}\right)=\frac{\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq}) \, \rho_{1}^{*}(\ell)}{\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho(\mathrm{aq}) \, \rho_{1}^{*}(\ell)}-\frac{\kappa_{\mathrm{T} 1}^{*}(\ell) \, \rho(\mathrm{aq})}{\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho(\mathrm{aq}) \, \rho_{1}^{*}(\ell)}+\frac{\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq}) \, \mathrm{M}_{\mathrm{j}}}{\rho(\mathrm{aq})}\]

\[\phi\left(\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\right)=\frac{\kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{aq})}{\rho(\mathrm{aq})} \,\left[\frac{1}{\mathrm{~m}_{\mathrm{j}}}+\mathrm{M}_{\mathrm{j}}\right]-\frac{\kappa_{\mathrm{Tl}}^{*}(\ell)}{\mathrm{m}_{\mathrm{j}} \, \rho_{1}^{\star}(\ell)}\]