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1.12.22: Expansiones y Compresiones- Soluciones- Dependencia Isentrópica del Volumen en Temperatura y Presión

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    El punto de partida es la operación de cálculo para un doble diferencial.

    \[\frac{\partial^{2} U}{\partial S \, \partial V}=\frac{\partial^{2} U}{\partial V \, \partial S}\]

    Entonces,\(\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{s}=-\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{v}\) O,

    \[\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s}}=-\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{V}}\]

    Pero,

    \[\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{s}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{V}}\right)_{\mathrm{p}}\]

    También observamos que

    \[\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{p}}=\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{V}}\right)_{\mathrm{p}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{p}}\]

    Entonces,

    \[\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{s}=\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{s} \,\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p} \,\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{p}\]

    Sin embargo, de la ecuación de Gibbs - Helmholtz,\(\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{C_{p}}{T}\)

    Entonces\(\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{s}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{V}}\right)_{\mathrm{p}} \, \frac{\mathrm{C}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{T}}\) O,

    \[\mathrm{E}_{\mathrm{s}}=-\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{s}} \, \mathrm{C}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{T} \, \mathrm{E}_{\mathrm{p}}}\]

    Dividimos ambos lados de la ecuación (f) por volumen\(\mathrm{V}\). De ahí

    \[\alpha_{\mathrm{s}}=-\kappa_{\mathrm{s}} \, \sigma / \mathrm{T} \, \alpha_{\mathrm{p}}\]

    This page titled 1.12.22: Expansiones y Compresiones- Soluciones- Dependencia Isentrópica del Volumen en Temperatura y Presión is shared under a Public Domain license and was authored, remixed, and/or curated by Michael J Blandamer & Joao Carlos R Reis.