1.14.8: Cálculo
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Considerar una variable u definida por las variables independientes\(x\) y\(y\).
\[\text { We write } u=u[x, y]\]
La ecuación (b) es el diferencial exacto general de la ecuación (a).
\[\mathrm{du}=\left(\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{x}}\right)_{\mathrm{y}} \, \mathrm{dx}+\left(\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{y}}\right)_{\mathrm{x}} \, \mathrm{dy}\]
En otras palabras, el cambio en u está relacionado con la dependencia diferencial de\(\mathrm{u}\)\(x\) en constante\(y\) y la dependencia diferencial de\(\mathrm{u}\)\(y\) en constante\(x\). Para el caso en que u no cambie,
\[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}=-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \,\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{u}=0 \text { and }\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{u}=-\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} \,\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)_{x}\]
Una variable\(z\) se define por las variables independientes\(x\) y\(y\).
\[z=z[x, y]\]
La ecuación (e) es el diferencial general de la ecuación (d). d z=\ izquierda (\ frac {\ z parcial} {\ parcial x}\ derecha) _ {y}\, d x+\ izquierda (\ frac {\ z parcial} {\ parcial y}\ derecha) _ {x}\, d y\]
Dirigimos la atención a la\(z\) dependencia de\(x\) a lo largo de un camino para el cual\(\mathrm{u}\) es constante.
\[\text { Then }\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{u}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} \,\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{u}\]
Esta última ecuación contiene la dependencia diferencial de\(y\)\(x\) en constante\(\mathrm{u}\). Esta última dependencia puede ser reformulada usando la ecuación (c). Por lo tanto
\[\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{u}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}-\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} \,\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)_{x} \,\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\]
El punto clave para emerger de estos centros de ejercicio es la forma en que la condición sobre el diferencial parcial se\((\partial z / \partial x)\) puede cambiar de 'en\(y\) constante' a 'en\(\mathrm{u}\) constante'.
Otra operación importante se refiere a una variable\(\mathrm{q}\).
\[\text { Thus, }\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{z}=\left(\frac{\partial x}{\partial q}\right)_{z} \,\left(\frac{\partial q}{\partial y}\right)_{z}\]
Para funciones compuestas tales como\(z=z[\mathrm{u}, \mathrm{v}]\), donde\(z=z[x, y]\), y\(\mathrm{u}=\mathrm{u}[\mathrm{x}, \mathrm{y}]\), se encuentran otras ecuaciones importantes [1].
\[\text { Thus }\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)_{v}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} \,\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)_{v}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} \,\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)_{v}\]
La ecuación (i) es un ejemplo de la regla de la cadena bien conocida, una ecuación similar que sostiene para\((\partial z / \partial v)_{u}\). Esta regla permite el cambio total de variables independientes de\(z=z[\mathrm{u}, \mathrm{v}]\) a\(z=z[x, y]\).
\[\text { Also }\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y, v}+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)_{y, x} \,\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y}\]
Esta última ecuación es útil para introducir una restricción adicional en un diferencial dado.
Nota al pie
[1] H. B. Callen, Termodinámica y una introducción a la termostática, Wiley, Nueva York, 2dn. Edn.,1985, Apéndice A.