4.1: La función de distribución como resumen de resultados experimentales

En la Sección 2.10, derivamos la ley de Boyle de las leyes de Newton utilizando el supuesto de que todas las moléculas de gas se mueven a la misma velocidad a una temperatura dada. Esta es una mala suposición. Las moléculas de gas individuales en realidad tienen un amplio rango de velocidades. En el Capítulo 4, derivamos la ley de distribución Maxwell—Boltzmann para la distribución de velocidades moleculares. Esta ley da a la fracción de moléculas de gas que tienen velocidades en cualquier rango de velocidades. Antes de desarrollar la ley de distribución Maxwell—Boltzmann, necesitamos desarrollar algunas ideas sobre las funciones de distribución. La mayoría de estas ideas son matemáticas. Los discutimos de manera no rigurosa, enfocándonos en comprender lo que significan más que en probarlos.

La idea primordial es que tenemos una fuente de datos del mundo real. Llamamos a esta fuente de datos la distribución. Podemos recopilar datos de esta fuente en la medida que nos plazca. El dato que recogemos se llama variable aleatoria de la distribución. Llamamos a cada valor posible de la variable aleatoria un resultado. El proceso de reunir un conjunto de valores particulares de la variable aleatoria a partir de una distribución a menudo se denomina muestreo o dibujo de una muestra. El conjunto de valores que se recoge se llama la muestra. El conjunto de valores que componen la muestra a menudo se llama “los datos”. En aplicaciones científicas, la variable aleatoria suele ser un número que resulta de hacer una medición en un sistema físico. Llamar a este proceso “dibujar una muestra” puede ser inapropiado. A menudo llamamos al proceso de obtener un valor para la variable aleatoria “hacer un experimento”, “hacer una prueba”, o “hacer un juicio”.

A medida que recolectamos cantidades crecientes de datos, la acumulación rápidamente se vuelve difícil de manejar a menos que podamos reducirla a un modelo matemático. Llamamos al modelo matemático desarrollamos una función de distribución, porque es una función que expresa lo que somos capaces de aprender sobre la fuente de datos: la distribución. Una función de distribución es una ecuación que resume los resultados de muchas mediciones; es un modelo matemático para una fuente de datos del mundo real. Específicamente, modela la frecuencia de un evento con el que obtenemos un resultado particular. Por lo general, creemos que podemos hacer que nuestro modelo matemático se comporte tanto como la fuente de datos del mundo real como queramos si usamos suficientes datos experimentales para desarrollarlo.

A menudo hablamos de estadísticas. Por estadística, nos referimos a cualquier entidad matemática que podamos calcular a partir de datos. En términos generales, una función de distribución es una estadística, porque se obtiene ajustando una función matemática a los datos que recopilamos. Otras dos estadísticas se utilizan a menudo para caracterizar los datos experimentales: la media y la varianza. La media y varianza se definen para cualquier distribución. Queremos ver cómo estimar la media y varianza a partir de un conjunto de datos experimentales recopilados de una distribución particular.

Distinguimos entre distribuciones discretas y continuas. Una distribución discreta es una fuente de datos del mundo real que puede producir solo valores de datos particulares. Un lanzamiento de monedas es un buen ejemplo. Solo puede producir dos resultados: cabezas o colas. Una distribución continua es una fuente de datos del mundo real que puede producir valores de datos en un rango continuo. La velocidad de un automóvil es un buen ejemplo. Un automóvil puede tener cualquier velocidad dentro de un rango bastante amplio de velocidades. Para esta distribución, la variable aleatoria es la velocidad del automóvil. Por supuesto que podemos generar una distribución discreta agregando los resultados del muestreo de una distribución continua; si agrupamos todas las velocidades de los automóviles entre 20 mph y 30 mph juntos, perdemos la información detallada sobre la velocidad de cada automóvil y retenemos solo el número total de automóviles con velocidades en este intervalo.