4.2: Resultados, eventos y probabilidad

También necesitamos introducir la idea de que una función que modele con éxito los resultados de experimentos pasados puede ser utilizada para predecir algunas de las características de resultados futuros.

Razonamos de la siguiente manera: Tenemos resultados de dibujar muchas muestras de una variable aleatoria de alguna distribución. Suponemos que se ha encontrado una representación matemática que resume adecuadamente los resultados de estas experiencias. Si la distribución subyacente —el sistema físico en las aplicaciones científicas— sigue siendo la misma, esperamos que una larga serie de resultados futuros den lugar esencialmente a la misma representación matemática. Si 25% de muchos resultados previos han tenido una característica particular, esperamos que 25% de un gran número de ensayos futuros tengan la misma característica. También decimos que hay una posibilidad entre cuatro de que el siguiente resultado individual tenga esta característica; cuando decimos esto, nos referimos a que el 25% de un gran número de juicios futuros tendrá esta característica, y el siguiente juicio tiene tan buenas posibilidades como cualquier otro de estar entre los que sí. La probabilidad de que ocurra un resultado en el futuro es igual a la frecuencia con la que ese resultado ha ocurrido en el pasado.

Dada una distribución, los posibles resultados deben ser mutuamente excluyentes; en cualquier ensayo dado, la variable aleatoria solo puede tener uno de sus posibles valores. En consecuencia, se describe completamente una distribución discreta cuando se especifica la probabilidad de cada uno de sus resultados. Muchas distribuciones están compuestas por un conjunto finito de N posibles resultados mutuamente excluyentes. Si cada uno de estos resultados es igualmente probable, la probabilidad de que observemos algún resultado en particular en el próximo ensayo es\(1/N\).

A menudo nos parece conveniente agrupar el conjunto de posibles resultados en subconjuntos de tal manera que cada resultado esté en uno y solo uno de los subconjuntos. Decimos que tales asignaciones de resultados a subconjuntos son exhaustivas, porque cada resultado posible se asigna a algún subconjunto; decimos que tales asignaciones son mutuamente excluyentes, porque ningún resultado pertenece a más de un subconjunto. Llamamos a cada subconjunto de este tipo un evento. Cuando dividimos los posibles resultados en eventos exhaustivos y mutuamente excluyentes, podemos decir lo mismo sobre las probabilidades de eventos que podemos decir sobre las probabilidades de resultados. En nuestras discusiones, el término “eventos” siempre hará referencia a una partición exhaustiva y mutuamente excluyente de los posibles resultados. Distinguir entre resultados y eventos solo nos da algunas convenciones lingüísticas que nos permiten crear agrupaciones alternativas del mismo conjunto de observaciones del mundo real.

Supongamos que definimos un evento particular como un subconjunto de resultados que denotamos como U. Si en un gran número de ensayos, la fracción de resultados que pertenecen a este subconjunto es F, decimos que la probabilidad es F de que el resultado del siguiente ensayo pertenezca a este evento. Para expresar esto en notación más matemática, escribimos\(P\left(U\right)=F\). Cuando lo hacemos, nos referimos a que la fracción de un gran número de juicios futuros que pertenecen a este subconjunto será F, y el próximo juicio tiene tan buenas posibilidades como cualquier otro de estar entre los que sí lo hacen. En una muestra que comprende M observaciones, el mejor pronóstico que podemos hacer del número de ocurrencias de U es\(M\times P(U)\), y a esto lo llamamos el número esperado de ocurrencias de U en una muestra de tamaño M.

La idea de agrupar las observaciones del mundo real en resultados o eventos es fácil de recordar si tenemos en cuenta el ejemplo de lanzar un dado. El dado tiene seis caras, las cuales están etiquetadas con 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos. Los puntos distinguen una cara de otra. En cualquier lanzamiento dado, una cara del dado debe aterrizar encima. Por lo tanto, hay seis posibles resultados. Dado que cada cara tiene una oportunidad tan buena como cualquier otra de aterrizar en la cima, los seis posibles resultados son igualmente probables. La probabilidad de cualquier resultado dado es\({1}/{6}\). Si preguntamos sobre la probabilidad de que el siguiente lanzamiento resulte en que una de las caras pares aterrice en la parte superior, estamos preguntando sobre la probabilidad de un evento, el evento de que el siguiente lanzamiento tenga la característica de que una cara par aterrice en la parte superior. Llamemos a este evento\(X\). Es decir, el evento\(X\) ocurre si el desenlace es un 2, un 4 o un 6. Estos son tres de los seis resultados igualmente probables. Evidentemente, la probabilidad de este evento es\({3}/{6}={1}/{2}\).

Habiendo definido evento\(X\) como la probabilidad de un resultado de número par, todavía tenemos varias formas alternativas de asignar los resultados de número impar a los eventos. Una tarea sería decir que todos los resultados impares pertenecen a un segundo evento, el evento en el que el resultado es impar. Los eventos “resultado par” y “resultado impar” son exhaustivos y mutuamente excluyentes. Podríamos crear otro conjunto de eventos asignando los resultados 1 y 3 al evento\(Y\), y el resultado 5 al evento\(Z\). Eventos\(X\),\(Y\), y también\(Z\) son exhaustivos y mutuamente excluyentes.

Tenemos mucha latitud en la forma en que asignamos los posibles resultados a los eventos. Si se ajusta a nuestros propósitos, podemos crear muchas diferentes particiones exhaustivas y mutuamente excluyentes de los resultados de una distribución determinada. Requerimos que cada partición de resultados en eventos sea exhaustiva y mutuamente excluyente, porque queremos aplicar las leyes de probabilidad a los eventos.