10.1: Diferenciales exactos

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En general, si un diferencial puede expresarse como

\[ df(x,y) = X\,dx + Y\,dy\]

el diferencial será un diferencial exacto si sigue la relación de Euler

\[\left( \dfrac{\partial X}{\partial y} \right)_x = \left( \dfrac{\partial Y}{\partial x} \right)_y \label{euler}\]

Para ilustrar este concepto, considere\(P(\overline{V}, T)\) utilizar la ley de gas ideal.

\[P= \dfrac{RT}{\overline{V}}\]

El diferencial total de\(P\) se puede escribir

\[ dP = \left( - \dfrac{RT}{\overline{V}^2} \right) dV + \left( \dfrac{R}{\overline{V}} \right) dT \label{Eq10}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Relación Euler

¿La Ecuación\ ref {Eq10} sigue la relación de Euler (Ecuación\ ref {euler})?

Solución

¡Confirmemos!

\[ \begin{align*} \left[ \dfrac{1}{\partial T} \left( - \dfrac{RT}{\overline{V}^2} \right) \right]_\overline{V} &\stackrel{?}{=} \left[ \dfrac{1}{\partial \overline{V}} \left( \dfrac{R}{\overline{V}} \right) \right]_T \\[4pt] \left( - \dfrac{R}{\overline{V}^2} \right) &\stackrel{\checkmark }{=} \left( - \dfrac{R}{\overline{V}^2} \right) \end{align*} \]

\(dP\)es, de hecho, un diferencial exacto.

Los diferenciales de todas las funciones termodinámicas que son funciones de estado serán exactos. El calor y el trabajo, que son funciones de ruta, no son diferenciales exactos\(dw\) y\(dq\) en su lugar se denominan diferenciales inexactos.

Colaboradores y Atribuciones

Patrick E. Fleming (Department of Chemistry and Biochemistry; California State University, East Bay)